Une question très précise sur les anneaux
dans Algèbre
\centerline{\bf S O S}
Soit $A$ un anneau (ça tourne à l'idée fixe, dsl), disons noethérien. Soit $b$ un élement de $A$ qui appartient à tous les idéaux non nuls.
Cette situation est-elle "bien connue" des spécialistes????? Dans quels cas, $b$ peut-il être non nul?
Soit $A$ un anneau (ça tourne à l'idée fixe, dsl), disons noethérien. Soit $b$ un élement de $A$ qui appartient à tous les idéaux non nuls.
Cette situation est-elle "bien connue" des spécialistes????? Dans quels cas, $b$ peut-il être non nul?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
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Bonsoir Christophe
Considère un corps $K$ vu comme un anneau. Il ne possède que 2 idéaux : $(0)$ et $K$.
Tous les éléments non nuls appartiennent à tous les idéaux non nuls ...
Alain -
Bonsoir,
modeste contribution,si $b$ inversible alors $A$ est un corps déja vu que $b \in aA \forall a$. -
Salut,
Il me semble qu'un anneau Noethèrien est intègre, commutatif et unitaire.
Si $A$ est un anneau intègre, commutatif et unitaire.
Si $b$ appartient à tous les idéaux non nuls de $A$, et $b$ est non nul on doit avoir $b^2$ non nul, donc $b \in b^2A$, c'est à dire pour un certain $a\in A$ $b=b^2a$, soit $b(ba-1)=0$. Donc $b$ est inversible (et dans ce cas $A$ est un corps comme le fait remarquer Marc). -
Tout anneau fini est noethérien mais n'est pas intègre en général.
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Merci beaucoup à vous tous pour vos exemples, et fêtons en grandes pompes le retour de Marphise... J'en connais un qui va être heureux!
Merci AD pour l'exemple des corps, ça illustre à quel point on ne pense que rarement aux exemples qu'on a sous la main.
Réponse à Marphise: non, je ne pense pas que le fait d'être intègre fasse partie de la définition officielle de {\it anneau noethérien}. "Noethérien" veut juste dire que toute suite croissante pour l'inclusion stationne, me semble-t-il (les spécialistes auront peut-être la générosité de confirmer ou d'infirmer)
D'ailleurs je dois des excuses dans un autre fil que je m'empresse d'aller présenter. J'ai cru que quelqu'un avait affirmé quelque chose à propos des anneaux noethériens, et je m'étais mis dans la tête de le démontrer "à l'arrache", commettant ainsi abus et affirmations gratuites en tout genre.
Alors que ce quelqu'un ne l'a affirmé qu'à propos des anneaux intègre noethériens ou c'est un fait "routinier"
Autres et moults exemples: en prenant un anneau $A$ et un élément non nul $c$ de $A$, soit $J$ un idéal maximal à ne pas contenir $c$, alors l'anneau $A/J$ voit $c$ comme un élément non nul qui appartient à tous les idéaux non nuls.
Les exemples sont donc plus que nombreux et diversAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Oui enfin du coup on retombe sur l'exemple du corps non ?
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Je ne sais pas: $J$ n'est pas maximal tout court, il est maximal à ne pas contenir $c$. Donc peut-être vaut-il mieux que je réfléchisse avant de parler: voyons voir, $J$ serait-il forcément maximal (tout court)?...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Ah ok excuse-moi Christophe j'avais mal interprété l'expression "maximal à ne pas contenir $c$" (c'est plutôt à moi de mieux réfléchir).
Dans ce cas, je pense qu'un tel idéal n'existe pas toujours. En effet pour en prouver l'existence il faudrait considérer l'idéal engendré par tous les idéaux ne contenant pas $c$ et il n'y a pas de raison pour cet idéal ne contienne pas $c$. Par exemple dans $\Z$ pour $c=1$ les idéaux $2\Z$ et $3\Z$ ne contiennent pas $c$ et pourtant $2\Z+3\Z=\Z$ contient $c$ ! -
Soit $L$ l'ensemble des idéaux qui ne contiennent pas $c$. {\bf Dans un anneau noethérien}, tout ensemble non vide d'idéaux contient un idéal maxi{\bf mal}. Un idéal {\it maximal à ne pas contenir $c$} est un idéal $J$ appartenant à $L$ tel que tout idéal $K\in L$ qui contient $J$, ie $J\subseteq K$ est égal à $J$, ie $K=J$.
J'ai l'impression que tu penses à "maxi{\bf mum}" plutôt qu'à "maxi{\bf mal}" ou peut-être mon campari de 11h m'a-t-il déjà atteint dangereusement...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
C'est peut-être mon Merlot d'hier soir qui remonte mais je commence à m'embrouiller. Enfin tu as raison j'ai confondu maximal et maximum !
Je dois y aller, je reviendrai y réfléchir tout à l'heure. -
Ca a l'air vrai qu'un idéal maximal à ne pas contenir $c$ n'est pas forcément maximal tout court : il me semble que $A=\Z$, $c=2$ et $J=4\Z$ est un exemple. Donc tu avais raison.
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C'est vrai j'ai parlé (enfin écrit) sans vérifier la définition. Un anneau Noethérien n'est pas forcément intègre.
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Bonjour Christophe, bonjour Marphise
pour un anneau commutatif unitaire A si a appartient à tous les idéaux non nuls, d'après le raisonnement de Marphise il existe b tel que a(1-ab) = 0
si a n'est pas nul et 1-ab non plus alors a appartient à l'idéal engendré par (1-ab). Dans ce cas a^2 = 0 ce qui ebntrîne que (1-ab) est inversible d'inverse (1+ab). Mais alors a=0 ce qui est absurde. Donc soit a=0, soit a est inversible(dans le deuxième cas A est un corps. Donc si A n'est pas un corps a ne peut être que 0 et sinon a peut être n'importe quoi; L'hypothèse intègre ou noethériebn n'est pas utile -
Hello Anatole, super coincidence, juste avant de me coucher, je tombe sur ton post.
Je le réécris en latex, la bonne cuisine se mange tout doucement lol
{\bf Théorème d'Anatole:}
{\it Soit $A$ un anneau {\bf quelconque} qui contient un élément non nul appartenant à tous les idéaux non nuls. Alors $A$ est un corps! }
Preuve:
Soit $a\neq 0$ un élément de $A$ qui appartient à tous les idéaux non nuls. Si $a^2\neq 0$ alors $(a^2)$ l'idéal des multiples de $a^2$ contient $a$ et donc il existe $b$ tel que $(1-ba)a=0$ car $a=a^2b$
Si $1-ab\neq 0$ alors il existe $k$ tel que $a=k(1-ab)=k-kab$. Mais alors $a^2=(k-kab)a=ka-ka^2b=ka-ka=0$. Donc, on est ramené au cas où $a^2=0$ (avec un superbe raisonnement par l'absurde signé mon surdoué préféré lol)
Multiplions $(1-ab)$ par $(1+ab)$ pour obtenir $1^2-a^2b^2=1$. Et donc, c'est bien vrai que $1-ab$ est inversible. Donc $a=0$
Ainsi, sous l'hypothèse que $a\neq 0$, forcément $1-ab=0$ et $a$ est inversible!
La conclusion de ce raisonnement est que les seuls éléments qui pourraient appartenir à tous les idéaux non nuls sont les éléments inversibles. Or ces derniers n'appartiennent à aucun idéal autre que $A$.
La "vieillesse" n'entame décidément pas ta dextérité...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bah grace à toi, je vais pouvoir reprendre mon fil sur les intersections $\cap_{n\in \N} I^n$, avec $I$ idéal {\bf quelconque} dans un anneau noethérien avec un enthousiasme neuf...
Vive Anatole!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
aaaaaaaaaaaaaaaaahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Erreur de raisonnement (de la part de 2 logiciens patentés, ça vaut le détour!)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Anatole, les opticiens ?
ok je sors (:P) -
Bon allez, je vous laisse le plaisir de trouver, ce serait trop con de décrire l'erreur maintenant...
See you soonAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
J'attends un peu, je donnerai la réponse correcte plus tard, si personne ne l'a trouvée.
A plus -
Très rapidement car je dois filer en cours.
Et d'une, tu supposes l'anneau commutatif alors que tu le prétendais quelconque (mais bon, comme dit mon cobureau, un anneau pas commutatif, ça n'existe pas).
Et de deux, je ne comprends pas pourquoi "Si $1-ab\neq 0$ alors il existe $k$ tel que $a=k(1-ab)=k-kab$" (c'est sûrement très bête, mais je ne vois pas... et dois vraiment filer).
A plus. -
waouh Anatole tu te leves tôt... Je ne savais pas que les grands savants mettaient le réveil à cette heure là
On attend disons 3 jour, ça ira?
rep a barbu: non, les trucs que tu as denoncé font bien partie des hypothèses (ou en découle) en fait, l'erreur n'est pas la -
Bonjour,
l'erreur vient de ce que dans le cas $a^2=0$, on n'a plus l'existence de b tel que $a(1 - ab) = 0$, l'inversibilité de $1 - ab$ n'implique donc pas $a = 0$ -
Bon, pour la commutativité, c'est effectivement une hypothèse implicite (on parlerait d'"idéal à gauche" et d'"idéal à droite" dans le cas contraire). Come non detto.
J'ai aussi compris la réponse à ma question (c'était en effet très bête : on applique l'hypothèse à l'idéal supposé non nul $(1-ab)$).
Bien vu Blueberry, on prouve seulement que tout élément de carré non nul est inversible, mais il pourrait y avoir des éléments de carré nul.
D'ailleurs, sans aller chercher trop loin, l'élément $2$ de $A=\Z/4\Z=\{-1,0,1,2\}$ appartient bien à tous les idéaux non nul de cet anneau : en effet, un idéal contenant $1$ ou $-1$ est A; et les autres idéaux non nuls contiennent $2$ (il n'y a d'ailleurs d'autre idéal que $\{0,2\}$). -
Bon bah... jcrois qu'on n'attendra pas 3 jours, je pense qu'Anatole sera d'accord? Bravo Blueberry!
De toute façon, pas d'argument d'autorité en maths!!!!!!! N'importe qui peut se rendre compte que ce n'est pas {\bf évident} qu'on a le droit de continuer de parler d'un "fantome" $b$ tel que $a=a^2 b$ après que l'hypothèse $a^2\neq 0$ a été "déchargée" (on cesse de la faire).
Même si ce droit était légitime (de garder $b$), la charge de la preuve serait de notre côté (les gens qui prouvent).
C'était une jolie petite énigme, par contre, une petite remarque, dont j'espère que Barbu Rasé ne me tiendra pas rigueur: le contre-exemple, qu'on y pense ou non, ne doit surtout pas être {\bf attendu}: je le redis. Même si l'affirmation générale avait été vraie, la charge de faire accepter le raisonnement n'est que du côté de qui prouve. Le raisonnement n'était pas plus, pas d'une once plus valide, même en l'absence du contre-exemple.
Un grand merci à Anatole qui, je pense à son corps défendant, a livré cette hypersubtile étourderie à nos cultures: on eût voulu le faire exprès que nous n'aurions pas réussi à "l'inventer". Donc à garder!!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Exercice
soit A un anneau commutatif unitaire noethérien. Montrer qu'il existe un élément non nul appartenant à tous les idéaux non nuls si et seulement si A est artinien, local et l'annulateur de son idéal maximal est un idéal principal.
Amusez-vous bien! -
je m'y colle illico: il y a 2 choses à prouver en plus... énoncé + sa réciproqueAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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L'annulateur de I, c'est quoi ?
Est-ce le plus grand ensemble $J$ tel que $I.J = \{i \times j , i \in I, j \in J\}$ soit nul ({\it a posteriori}, il est clair qu'un tel J est un idéal) ? -
Je pense que tu as raison, l'annulateur de $M$ doit être l'ensemble des $x$ tels que $\forall m\in M: mx=0$
Preuve que c'est un idéal:
Si $mx=0$ $(\forall m\in M)$ alors $m(bx)=0$ $(\forall m\in M)$ et pour tout $b$.
Si $mx=0$ et $my=0$ $(\forall m\in M)$ alors $m(x+y)=0, (\forall m\in M)$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
exact
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si $a$ non nul est dans tous les idéaux non-nuls de $A$, alors $a^{2}=0$ ;
la suite du raisonnement ne tiens pas, l'égalité $(1-ab)a=0$ venait de $a^{2}$ non nul.
voilà pour ce qui était de trouver l'erreur ; pour ce qui est de n'en pas commettre, je vous laisse ce plaisir. -
tout à fait
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pourquoi j'avais pas vu qu'on avait répondu à la question dix fois avant moi ?
désolé pour ma super intervention, je ne sais pas tourner la page... -
en plus le raisonnement c'était :
si $a$ non nul est dans tous les idéaux non nuls de $A$, si $a^{2}$ est non nul : alors $a=ba^{2}$, i.e. $a(1-ba)=0$, et alors si $(1-ba)$ est non nul, alors [...] $a^{2}=0$ ;
donc en fait, si $a$ non nul est dans tous les idéaux non nuls de $A$, alors ou bien $a^{2}=0$, ou bien a est inversible et $A$ est un corps
tout ce que je vois alors, c'est que si A n'est pas un corps, et qu'il existe $a$ non nul qui est dans tous les idéaux non nuls de A, alors $a^{2}=0$, et (a) est l'intersection de tous les idéaux non-nuls de A.
c'est pas passionnant, mais je crois que c'est juste... -
soit A un anneau commutatif unitaire noethérien. Montrer qu'il existe un élément non nul appartenant à tous les idéaux non nuls si et seulement si A est artinien, local et l'annulateur de son idéal maximal est un idéal principal.
Peut-être est-ce plus intéressant? -
Remarque: en théorie des anneaux, je rappelle que $(t)$ signifie ensemble des multiples de $t$ et est un idéal.
$a\neq 0$ et appatient à tous les idéaux non nuls de $A$ qui est noethérien. Notons $N$ l'ensemble des $x$ tels que $ax=0$.
$N$ est un idéal. Soit $M$ un idéal maximal qui le contient et soit $b\in M-N$. Alors $ab\neq 0$ et donc il existe $k$ tel que $a=kab$. Du coup, $(1-kb)a=0$. Donc (ce passage est un bijou) $1-kb\in N$ mais alors $1\in M$ comme somme de ses éléments $1-kb$ et $kb$.
L'idéal $N$ est maximal, et annulé par $(a)$. Soit $b$ tel que $\forall x\in N:bx=0$. Si $b=0$ alors il est dans $(a)$. Si $b\neq 0$ alors il existe $k$ avec $kb=a$. Comme $a\neq 0$, $k\notin N$. Comme $N$ est maximal, il existe $u\in N$ et $z$ tels que $u+zk=1$. Ainsi $b=ub+zkb=ub+za=0+za=za$ et donc $b\in (a)$. L'annulateur de l'idéal maximal $N$ est donc l'idéal $(a)$.
Il reste à voir (selon Anatole) que l'anneau $A$ est artinien, mais j'ai un peu mal aux mains.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Rappel: dans un anneau $A$, $a$ est multiple de $b$ quand il existe $x\in A$ tel que $xb=a$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Il suffit de prouver que les idéaux premiers de $A$ sont tous égaux à $N$, ce qui donnera en plus que $N$ est le seul idéal maximal de l'anneau $A$.
Prouvons déjà que $a^2=0$. Sinon il existe $k$ avec $a=ka^2$. Et donc $(1-ka)a=0$. Comme $a$ appartient à tous les idéaux maximaux, $(1-ka)$ est inversible. Et donc $a=0$.
Soit $x$ un élément tel que $\forall n\in \N:x^n\neq 0$. Chaque idéal $I_n:=\{y / yx^n\in (a)\}$ est non nul, et cette suite $(I_n)_n$ est croissante. Soit $n$ tel que $I_n=I_{n+1}$ et soit $a=kx^{n+1}$. Comme $k\in I_n$, il existe $j$ tel que $kx^n=ja$. Et donc $kx^{n+1}=jax=a$. Ainsi $(1-jx)a=0$ et $1-jx\in N$. Il s'ensuit alors que $x\notin N$.
Conclusion pour tout $x\in N$, il existe un entier $n$ avec $x^n=0$. Et donc ce $x\in P$ pour tout idéal premier $P$. Ainsi $N$ est égal à tout idéal premier (en tant qu'idéal maximal) et il est donc vrai que l'anneau a tous ses idéaux premiers maximaux.
L'anneau $A$ est donc local et artinien.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bravo Christophe
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Bien joué.
Reste à voir la réciproque (ce me semble)... -
à effacerAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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La réciproque n'est pas vraiment le point difficile de l'histoire, j'ai hésité à répondre today mais bon:
L'idéal maximal de l'anneau est l'ensemble des éléments non inversibles par hypothèse.
Soit $a\neq 0$ tel que si $\forall x$ non inversible $cx=0$ alors $c\in (a)$.
Soit $I$ un idéal non nul et $(b)\subseteq I$ un idéal minimal principal non nul. Soit $y$ un éventuel élément non inversible tel que $by\neq 0$. Comme $(by)$ serait alors $\subseteq (b)$, il existerait $k$ tel que $b=kyb$ cadire $(1-ky)b=0$. L'inversibilité de $1-ky$ étant ainsi exclue, l'appartenance de $y$ à l'idéal maximal ne peut avoir lieu à cause de celle de $1-ky$.
Conclusion: pour tout $y$ non inversible $by=0$ et donc il existe $m$ tel que $b=ma$. Si $m$ n'est pas inversible, $b=ma=0$ et sinon $a$ est un multiple de $b$ est appartient donc forcément à $I$.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bon je pense que le probleme est réglé
salut -
Cher professeur Anatole, je vous remercie de votre soutien: d'ailleurs je t'ai honoré sur ma page.
http://www.logique.jussieu.fr/~chalons/anneauxneotheriens.phpAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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