équation algébrique

guillaume50 · May 2007

Bonjour,
Il est démontré que lorsque n>4 il n'est pas possible de donner de solutions générales par radicaux à des équations algébriques.
Il existe sinon des méthodes de résolution trigonométrique par exemple classiquement pour les équations du troisième degré en posant $X=\alpha \cos(\theta)$
Je me demande donc s'il est possible de résoudre trigonométriquement des équations de degré >4 ou si des changements de variable trigonométrique se ramène aussi à l'impossibilité de trouver une solution générale.
Merci

Le barbu rasé · May 2007

La réponse m'intéressera aussi...

guillaume50 · May 2007

il n'y a pas un Galois trigonométrique dans le coin?!
(:P)

Joaopa · May 2007

Hermite a montre que les equations generales de degre 5 et 6 peuvent se resoudre avec l'aide de fonctions modulaires.

Joaopa

Spammer · May 2007

On pose X=alpha*cos(theta)
Ya moyen de voir cela sur un exemple, car je ne connais pas cette méthode et je voudrais bien voir quelle règle on lui impose pour voir si cela peut s'appliquer aux autres equations ou si cela ne fait que nous donner des radicaux, donc rien de nouveau.

guillaume50 · May 2007

en tout cas ça se ramène à la notion de nombre de lettre inconnue.
Pour moi ce que démontre la théorie de Galois implicitement c'est qu'on ne peut pas trouver une équation résoluble en réalisant plus d'un certain nombre de lettre inconnue si vous voyez ce que je veux dire? ce qui je pense est plus fort que la notion de non résoluble par radicaux car cela suggère qu'on ne peut pas tout simplement trouver un changement de variable quelconque avec un certain nombre de lettre inconnue pour se ramener à une équation qui elle est résoluble par radicaux....

on se ramène à la forme $X^3+pX+q=0$ puis on linéarise $cos^3(x)$ on opère le changement de variable $X=\alpha cos(x)$ en choisissant $\alpha$ de façon à supprimer le terme en cos(x)

il reste finalement cos(3x)=y avec y connu....

guillaume50 · May 2007

maintenant la question c'est peut-on par un changement de variable trigonométrique résoudre des équations générales d'ordre plus élevé?
Plutot que de se casser la tete toute sa vie a essayer de trouver une solution à ce prblème il faut surment se ramener à la théorie de Galois !!!
Pour moi un mathématicien de génie c'est un mathématicien qui pense prendre conscience qu'il ne trouvera pas la solution en procédant d'une telle façon et a l'idée alors de plutot essayer de démontrer que c'est pas possible!!!!!

Quel est réellement le premier homme qui a essayé de démontrer qu'on ne peut pas résoudre par radicaux les équations algébriques lorsque n>4!!
Avant Abel il me semble?

Spammer · May 2007

Et dans cos(3x)=y y il est quoi, c'est un truc qui s'exprime rationnellemnet en fonction de p et q ou pas ?

Bruno · May 2007

Une petite minute, ne vous emballez pas trop vite.

La méthode trigonométrique et la méthode de Cardan sont complémentaires dans le cas du troisième degré ; la méthode de Cardan fonctionne parfaitement dans le cas où l'équation réduite $x^3 + p\,x + q = 0$ ne possède qu'une seule racine réelle ; la méthode trigonométrique, elle fonctionne parfaitement dans le cas où les trois racines sont réelles et où Cardan vous envoie dans les complexes avec des expressions monstrueuses.

Pour observer les choses, essayez de résoudre $x^3 - 3\,x + 1 = 0$ dont les trois solutions sont :$$2\,\cos\left(\frac{2\pi}9\right) \quad 2\,\cos\left(\frac{4\pi}9\right) \quad -2\,\cos\left(\frac{\pi}9\right).$$Pas besoin de faire un dessin pour voir laquelle des deux méthodes fonctionne ; essayez donc par Cardan...

Bref, la méthode trigonométrique n'est qu'une variante de la résolution par radicaux. Pour le degré $n$, il faut introduire $x = a\,\cos(n\,y)$ mais...

Bruno

guillaume50 · May 2007

oui c'est une racine cubique d'un rationnel

Joaopa · May 2007

Pour Bruno. Je serai vraiment surpris que ton changement de variable permet de resoudre une equation general de degre >4 trigonemtriquement.

Joaopa

Bruno · May 2007

Moi aussi, je corrige, il faudrait... Mon argumentation n'est pas claire, je pense que la méthode trigonométrique n'est pas fondamentalement différente de la méthode par radicaux ; et j'ai simplement noté que, dans le cas du troisième degré, la méthode de Cardan et la méthode trigonométrique (attribuée à François Viète me semble-t-il) sont simplement complémentaire dans le sens où, quand l'une réussit, l'autre échoue.

Bruno.

Joaopa · May 2007

guillaume50 Écrivait:

> Bonjour,
> Il est démontré que lorsque n>4 il n'est pas
> possible de donner de solutions générales par
> radicaux à des équations algébriques.
> Il existe sinon des méthodes de résolution
> trigonométrique par exemple classiquement pour les
> équations du troisième degré en posant $X=\alpha
> \cos(\theta)$
> Je me demande donc s'il est possible de résoudre
> trigonométriquement des équations de degré >4 ou
> si des changements de variable trigonométrique se
> ramène aussi à l'impossibilité de trouver une
> solution générale.
> Merci

Le probleme de ce genre de question est que l'on ne sait pas de quoi on parle. Donc je pose une question sur la question. Que veut dire resoudre une equation algebrique trigonometriquement?

Joaopa

guillaume50 · May 2007

Concernant l'équation du troisieme degré je connais plusieurs types de méthode pour la résoudre .

Par exemple on peut aussi poser X=x+1/x et on se ramène à une équation du 6ème degré qui se ramène au deuxieme degré grace à une certaine symétrie des coefficients. C'est certainement la méthode qu'avait utilisé Lagrange qui consistait à réaliser un changement de variable de polynome rationnel avec un certain nombre de lettre inconnue à déterminer de façon à ce que le polynome de degré plus élevé obtenu se ramène à un polynome dont on peut trouver les solutions. Ce qui ramène au final des radicaux.

Concernant le changement de variable trigonométrique, pour moi le problème provient du nombre de lettres inconnues que l'on ajoute dans le changement de variable et ainsi cela reviendrais au meme de bosser en trigonométrique.

à démontrer..

Joaopa pouvez-vous m'en dire davantage sur le travail de Hermite concernant les équations du 5ème et 6ème degré cela est interessant?

Joaopa · May 2007

Tu n'as pas repondu a ma question.

J'en pose donc une autre.

C'est quoi resoudre une equation par radicaux?

Les travaux d'Hermite sont toujours interessants

Si je me rappelle bien, il y a un article sur ses travaux sur l'equation genrale du 5 degre dans un Mathematical Intellenger. Il ne reste plus qu'a fouiller dans la BU de ta fac.

Joaopa

guillaume50 · May 2007

vous pouvez lire le mémoire de Lagrange sur le site Gallica il me semble. Il explique bien cette notion de radicaux je pense.
En gros c'est quand on peut mettre les racines d'un polynome sous forme d'une combinaison de compositions de racine k-eme de combinaison des coefficients du polynome ..(:P)

Le barbu rasé · May 2007

Joaopa a écrit:

Que veut dire resoudre une equation algebrique trigonometriquement?
[...] Tu n'as pas repondu a ma question. J'en pose donc une autre. C'est quoi resoudre une equation par radicaux?

guillaume50 a écrit:

c'est quand on peut mettre les racines d'un polynome sous forme d'une combinaison [rationnelle] de compositions de racine k-eme de combinaison [rationnelle] des coefficients du polynome ..

(j'ai rajouté les "rationnelle" pour clarifier, j'entends par là quotient de polynômes, et j'espère ne pas trahir l'intention de guillaume)

Je proposerais volontiers (mais c'est sans doute trop naïf ?) que pour définir "resoudre une equation algebrique trigonometriquement", on rajoute simplement aux fonctions "racines k-eme" les fonctions cos et arccos, et ch et argch.

Quels éléments de réponse a-t-on si on interprête la question en ce sens ?

guillaume50 · May 2007

oui je vois les choses de la meme façon que le barbu rasé.
peut-on trouver des solutions générales de p(x)=0 sous forme "trigonométrique" lorsque n>4 cad une racine qui ne sera pas sous forme de radicaux mais de combinaisons de fonctions trigonométriques usuelles?

équation algébrique

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