racine réelle d'un polynôme

Le théorème de Sturm ( WIKI ) te donne le nombre de solutions réelles d'un polynome.

Si on l'applique aux polynomes de degré 3, on trouve "deux discriminants" :
( sauf erreurs de calcul )
Le premier est simple : $b^2-3ac$
Et le deuxième est atroce : $\frac{9a(27a^2d^2 + 2ac(2c^2 - 9bd) + b^2 (4bd - c^2 ))}{4(3ac - b^2)^2}$

Ce théorème est plus fort que ce que tu demandes puisqu'il donne le nombre de solutions réelles...
Ainsi pour le troisième degré, il est évident qu'il y a toujours une solution réelle ( pas besoin de "discriminant" )
Pour les degrés pairs, je pense que les "discriminants" sont de plus en plus atroce et qu'ils sont nécessaires pour répondre à ta question

On a encore un autre critère très joli. Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ {\bf sans racines multiples} (ce qui revient à dire que $\mathrm{pgcd}(P,P')=1$).

Soit $E=\mathbb{R}[X]/(P)$. Pour $x\in E$, on note $\mathrm{Tr}_E(x)$ la trace la multiplication à gauche par $x$ dans $E$. Alors $\mathrm{Tr}_E$ est une forme linéaire.

{\bf Théorème : }\quad Le nombre de racines réelles de $P$ est égale à $r_1-r_2$, où $(r_1,r_2)$ est la signature de la forme quadratique
$$q_E: E\to\mathbb{R},\ x\mapsto \mathrm{Tr}_E(x^2).$$
Lorsque $P$ est à racines multiples, alors le polynôme $Q=\dfrac{P} {\mathrm{pgcd}(P,P')}$ est sans racines multiples, et les racines de $Q$ sont les racines de $P$, comptées sans multiplicité.
En appliquant le théorème précédent à $Q$, on obtient le nombre de racines réelles de $P$ comptées sans multiplicité.

{\bf Exemple : }\quad Si $P=aX^2+bX+c,\ a\neq 0$, on suppose que $\Delta=b^2-4ac$ est non nul, et donc $P$ est sans racines multiples.
Alors $1,\ \overline{X}$ est une $\mathbb{R}$-base de $E$ comme espace vectoriel.
Clairement, $\mathrm{Tr}_E(1)=2$. De plus, la matrice de la multiplication à gauche par $\overline{X}$ dans cette base est $\begin{pmatrix}0 & -c/ a \\ 1 & - b /a\end{pmatrix}.$
On en déduit que $\mathrm{Tr}_E(\overline{X})=-\dfrac b a$, et par suite
$\mathrm{Tr}_E\big(\overline{X}^2\big) = \mathrm{Tr}_E\left(-\dfrac b a x-\dfrac c a\right) = \dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2c}{a}$.
Ainsi la matrice de $q_E$ est donnée par $\begin{pmatrix}2 & -\frac b a \\ -\frac b a & \frac{b^2-2ac}{a^2}\end{pmatrix}.$
Une application élémentaire de l'algorithme de Gauss montre alors que
$q_E$ est isomorphe à la forme diagonale $\simeq \langle 2,2\Delta\rangle$.

Ainsi, si $\Delta< 0$, la signature de $q_E$ est $(1,1)$, et $P$ a 0 racines réelles.
Si $\Delta>0$,la signature de $q_E$ est $(2,0)$, et $P$ a 2 racines réelles.

Amusant, non ?

Salut!

Ce théorème a été démontré par Sylvester, c'est d'ailleurs lui qui (je crois) a introduit pour la première fois cette forme quadratique $q_E$, appelée "forme trace".

Tu devrais pouvoir trouver la démonstration de ce résultat dans le livre de Windfried Scharlau, Quadratic and Hermitian forms, chez Springer...(en anglais)

Sinon, je dois avoir rédigé la démo quelque part dans un de mes nombreux polycopiés (plus détaillée que dans le Scharlau), mais c'est aussi en anglais.

Si tu veux, je peux t'envoyer mes notes.

Greg

Vous pouvez voir aussi:

http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/racsign.pdf


Cordialement,

Michel Coste