Ma vie, mon oeuvre.....

Bien le bonjour,
Je suis en train de terminer mon mémoire de master 2 (ma soutenance est jeudi prochain), et je me suis dit que j'allais courageusement vous en faire profiter...

Je ne veux pas passer pour un vendeur de lessive, mais je vous jure que ce sont de très jolies maths qui sont derrière (la question restant ouverte de savoir si je les raconte bien ) m'enfin je pense que les amateurs de jolies maths, surtout de jolie algèbre devraient trouver ça agréablement surprenant, d'autant que ça n'est pas si connu..

Je précise aussi que j'ai essayé de faire un mémoire suffisamment "auto contenu" pour qu'il puisse être lu par des gens.. Je redonne pas mal de définitions de base, donc je pense qu'il suffit de savoir ce qu'est un morphisme de groupe, peut-être un peu plus, pour comprendre l'essentiel...

En gros, ce sujet illustre assez bien ce que j'aime en maths :

On part d'un sujet de maths "pures", à savoir la détermination des représentations irréductibles de $GL(E)$ ou $E$ est un $\C$-espace vectoriel. Ce problème est déjà intéressant en soi pour qui aime un peu la théorie des groupes. On se pose ensuite la question de savoir comment décomposer un produit tensoriel de 2 de ces représentations en somme directe de représentations irréductibles.

Le produit tensoriel étant un truc assez moche, a priori ça demande du calcul gros bourrin, mais c'est là que ça devient intéressant : les représentations sont construites avec des espèces de tableaux tordus (qui ne servent au départ que de notation), et donc on bascule complètement dans un autre contexte, et on manipule ces tableaux de manière purement combinatoire.

Là, on découvre que l'ensemble de ces tableaux possède une structure de monoïde aussi étrange qu'inattendue, basée sur des algorithmes inspirés par exemple par le célèbre jeu du taquin . C'est ce genre de choses que j'aime bien, on oublie le cote "moche" du premier problème et on se retrouve à jouer au puzzle, à bouger des cases dans tous les sens, et ça nous permet de calculer directement et purement combinatoirement les coefficients qui interviennent dans la décomposition recherchée.

( On peut faire une petite analogie avec la formule du binôme de Newton, plutôt que de calculer directement le produit puis de regrouper les termes, on passe dans le domaine combinatoire ce qui permet de calculer facilement les coefficients.).

Et je finis en présentant quelque développements plus modernes, qui consistent essentiellement à jouer avec des triangles plutôt qu'avec des tableaux...

Enfin voilà, pour ceux qui ont du temps à perdre, lisez pour vous faire plaisir, et profitez en (ben voui, j'ai des arrières pensée ) pour me pourrir de critiques sévères mais justes, que ce soit sur le fond, la forme, aussi bien le LaTeX que la clarté, la précision des démos, la qualité des exemples... Enfin n'épargnez rien, ça me rendra service !! (j'ai numéroté les lignes pour ceux qui voudraient faire des remarques sur des endroits précis)

Voilà donc le lien, et merci à tous, bonne lecture !