valeur exacte d'un cosinus
Bonjour,
Comment calcule-t-on $\cos \left( \frac{2 \pi}{5} \right) $?
J'ai trouvé une méthode, mais elle est très longue et pas très algébrique... Pour cela, à l'aide des polynômes de Tchebycheff, j'exprime $\cos 5 \phi$ en fonction de $\cos \phi$. Je trouve :
$$ \cos 5\phi = 16 (\cos \phi)^5 - 20 (\cos \phi)^3 + 5 \cos \phi$$
Puis je pose $\phi = \frac{2 \pi}{5}$ et je me retrouve à résoudre une équation du 5e degré. Je remarque que $1$ est racine, et je factorise. J'obtiens : $$(X-1)(16X^4+16X^3-4X^2-4X+1)$$
Et c'est là que je ne suis plus satisfait de ma méthode. Je dois étudier la fonction polynôme correspondant au second membre. De là, j'en déduis qu'il a deux racines réelles, situées de parts et d'autres de $0$. Comme il ne traverse pas l'axe, elles sont d'ordre pair, donc doubles. Je l'écris sous la forme $16(X-a)^2(X-b)^2$ et je trouve que $a+b = -1/2$, $a^2 b^2 = 1/16$. De là j'en déduis une équation du second degré, et trouve la valeur cherchée.
Mais ce n'est pas très algébrique, et l'étude de fonction rigoureuse n'est pas aisée du tout. D'autant plus que la forme du polynome du 4e degré laisse présagé une technique plus astucieuse (comme les équations réciproques, sauf qu'ici ca ne marche pas...).
Comment feriez-vous ?
Merci
Cordialement
Comment calcule-t-on $\cos \left( \frac{2 \pi}{5} \right) $?
J'ai trouvé une méthode, mais elle est très longue et pas très algébrique... Pour cela, à l'aide des polynômes de Tchebycheff, j'exprime $\cos 5 \phi$ en fonction de $\cos \phi$. Je trouve :
$$ \cos 5\phi = 16 (\cos \phi)^5 - 20 (\cos \phi)^3 + 5 \cos \phi$$
Puis je pose $\phi = \frac{2 \pi}{5}$ et je me retrouve à résoudre une équation du 5e degré. Je remarque que $1$ est racine, et je factorise. J'obtiens : $$(X-1)(16X^4+16X^3-4X^2-4X+1)$$
Et c'est là que je ne suis plus satisfait de ma méthode. Je dois étudier la fonction polynôme correspondant au second membre. De là, j'en déduis qu'il a deux racines réelles, situées de parts et d'autres de $0$. Comme il ne traverse pas l'axe, elles sont d'ordre pair, donc doubles. Je l'écris sous la forme $16(X-a)^2(X-b)^2$ et je trouve que $a+b = -1/2$, $a^2 b^2 = 1/16$. De là j'en déduis une équation du second degré, et trouve la valeur cherchée.
Mais ce n'est pas très algébrique, et l'étude de fonction rigoureuse n'est pas aisée du tout. D'autant plus que la forme du polynome du 4e degré laisse présagé une technique plus astucieuse (comme les équations réciproques, sauf qu'ici ca ne marche pas...).
Comment feriez-vous ?
Merci
Cordialement
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Réponses
soit $u=e^{2i\pi/5}$. Calculer $1+u+u^2+u^3+u^4$.
En déduire la valeur de $\cos(2\pi/5)$
[En LaTeX, c'est toute l'expression qu'il faut encadrer par des \$, pas seulement quelques termes. AD]
a²=a+1.
Définissons la suite u(n) par u(0)=0, u(1)=1 et:
u(n)=a*u(n-1)-u(n-2) pour n>=2.
u(2)=a; u(3)=a²-1=a; u(4)=a²-a=1 et u(5)=a-a=0.
Par ailleurs,posons a=2*cos(b), avec pi/*2<b<3*pi/4 (car cos(b)=-0,309..). On voit facilement (récurrence ou formules de Binet) que u(n)=sin(n*b)/sin(b) (on retrouve au passage les polynômes de Tchebychev).
La relation u(5)=0 montre que 5*b=k*pi, avec 5*pi/2<5*b<15*pi/4. Donc k=3 et b=3*pi/5, ce qui montre que cos(3*pi/5)=a/2. On en déduit facilement cos(2*pi/5)
v(n)=a'*v(n-1)-v(n-2) pour n>=2. On a,comme dans le message précédent, v(5)=0 (en utilisant a'²=a'+1).
En posant a'=2cos(b'), on a: 0<b'<pi/4 et 0n voit (même méthode que précedemment) que b'=pi/5, autrement dit que:
a'=2*cos(pi/5).
La formule cos(2x)=2cos²(x)-1 entraîne:
cos(2*pi/5)=(a'²-2)/2=(a'-1)/2=-a/2, avec
a==1-a'=(1-racine(5))/2
> Mais ce n'est pas très algébrique, et l'étude de
> fonction rigoureuse n'est pas aisée du tout.
> D'autant plus que la forme du polynome du 4e degré
> laisse présagé une technique plus astucieuse
> (comme les équations réciproques, sauf qu'ici ca
> ne marche pas...).
>
> Comment feriez-vous ?
>
> Merci
>
> Cordialement
Si tu veux obtenir une equation reciproque, considere plutot le polynome de degre 5 qui admet $2/cos(2\pi/5)$ comme racine.
Joaopa
une fois la valeur de $\cos(2\pi/5)$ connue, trouver une méthode de construction à la règle et au compas d'un pentagone régulier.
bon alors aprrès un p'tit calcul, en partant de $z=\cos(2\pi/5)+i\sin(2\pi/5)$, m'est d'avis qu'on peut démontrer que :
$1+z+z^2+z^3+z^4=0$
pis qu'il est facile de calculer :
$z+z^4$ et $z^2+z^3$
d'où qu'on trrrouve :
$1+2\cos(2\pi/5)+2\cos(4\pi/5)=0$
or, l'est pas ben difficile d'voir que :
$4\cos^2(2\pi/5)=2+2\cos(4\pi/5)$
d'où qu'en bricolant un peu que c'qui y a aud'ssus, on arrive à :
$\cos(2\pi/5)$ s'rait ben racine de $4x^2+2x-1=0$
pis aprrès ben ça rrroulle
bon y s'fait tard...
Bonsoir
Père Gustave
Ah, j'oubliais : m'est d'avis, m'est d'avis hein, d'après que c'que j'ai lu dans l'écho d'Montvachoux,... bennn les étoiles à neutrrons, ça s'rait ben un truc des socialo pour v'nir nous emmerrder!!!
[Tant qu'à écrire en LaTeX, allons jusqu'au bout : \verb*=\sin=, \verb*=\cos=, \verb*=\pi= ... Le reste, comprenne qui pourra AD]
Je crois que la technique de Bosio Fredéric est la même que Crozet, non ?
Par contre RAJ, ta méthode marche, mais je ne vois pas d'où ca sort. Pourquoi, pour calculer ce cosinus, partirait-on du nombre d'or ?
Et j'en ais bien déduit une construction du pentagone... Mais c'est pas évident ! J'imagine même pas pour 17 côtés...
Cela revient à placer sur l'axe des abscisse $\cos \frac{2 \pi}{5} $, donc $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$. Pour cela, il faut tracer $\sqrt{5}$, ce que je fais en prenant un cercle de rayon 1, en symétrisant le point de coordonnées $(1,0)$, puis en tracant le cercle de centre $(2,0)$, de rayon $1$. Après, il faut tracer la médiatrice du diamètre (et axe $Ox$) du cercle de centre $(0,0)$. C'est tout bête, mais c'est ce qui me demande le plus de tracés. Et enfin, j'obtient le point $(2,1)$. De là, j'en déduit $\sqrt{5}$, puis $\sqrt{5}-1$, et enfin je place le cosinus cherché sur l'axe. Gagné.
Question subsidiaire : sait-on quel est le nombre minimal d'opérations à effectuer ? Et le procédé associé ? J'appelle "opération" tout tracé d'arc de cercle, de cercle, de segments, de droites, etc... (donc ca prend en compte le fait qu'il faille tracer une perpendiculaire, etc...).
Manifestement, ma technique n'est pas optimale puisque, par exemple, je trace le second axe après avoir tracé le cercle, ce qui m'oblige à tracer deux perpendiculaires à l'axe $Ox$, à la même distance du point $O$.
Merci encore
Cordialement
Joaopa
Posons a=2*cos(pi/5). L'encadrement pi/6 < pi/5 < pi/4 permet de montrer facilement que:
0,5<racine(3)/3< (a²-1)/a <racine(2)<1,5. En posant p=(a²-1)/a, on a donc 0,5<p<1,5 et a²=p*a+1.
La suite définie par u(0)=0, u(1)=1 et u(n)=a*u(n-1)-u(n-2) pour n>=2 a pour terme général: u(n)=sin(n*pi/5)/sin(pi/5), on a donc u(5)=0
Par ailleurs:
u(2)=a
u(3)=a²-1=p*a
u(4)=p*a²-a=p*(p*a+1)-a=(p²-1)*a+p
u(5)=(p²-1)a²+pa-p*a=(p²-1)*a²
La relation u(5)=0 montre que p=+-1 et par suite que p=1 (car 0,5 < p< 1,5).Ceci entraîne que a²=a+1 et par suite que a=(1+racine(5))/2 (car a>0).
a=2*cos(pi/5)>2*cos(pi/4)=racine(2)
Merci
u(0)=0, u(1)=1 et u(n)=a*u(n-1)-u(n-2).
Il est clair que u(n) est un polynôme de la variable a, de degré (n-1) .On a par exemple:
u(2)=a ; u(3)=a²-1 ; u(4)=a^3-2a ; u(5)=a^4-3a²+1.
En posant a=2*cos(b), on vérifie facilement par récurrence que:
u(n)=sin(nb)/sin(b).
Dans la suite, on prendra b=k*pi/m, avec m>=5 et 1<=k<=m-1.
Remarquons que :sin[(m-2)*k*pi/m]=sin(k*pi-2*k*pi/m). On en déduit que :
u(m-2)=a, si k impair et que u(m-2)= -a si k pair, ce qui fournit un polynôme de degré (m-3) dont une racine est a.
Application 1 : k impair, m=5 et a=2*cos(k*pi/5).
L’équation u(m-2)=u(3)=a s’écrit a²-1=a. On en déduit que:
2*cos(pi/5)=(1+racine(5))/2 et que 2*cos(3pi/5)=(1-racine(5))/2
De même, si k est pair, L’équation u(m-2)=u(3)= -a s’écrit a²-1= -a. On en déduit que 2*cos(2pi/5)=(-1+racine(5))/2 et que 2*cos(4pi/5)=(-1-racine(5))/2
Application 2 : k impair, m=7 et a=2*cos(k*pi/7).
L’équation u(m-2)=u(5)= a^4-3a²+1=a s’écrit: a^4-3a²-a+1=0, soit encore
(a+1)(a^3-a²-2a+1)=0. Les nombres 2*cos(pi/7) , 2* cos(3pi/7) et 2*cos (5pi/7) sont donc les racines du polynôme
a^3-a²-2a+1=0.
De même, en prenant k pair, l'équation
u(m-2)=u(5)= a^4-3a²+1= -a s’écrit: a^4-3a²+a+1=0, soit encore
(a-1)(a^3+a²-2a-1)=0. Les nombres 2*cos(2pi/7) , 2*cos(4pi/7) et 2*cos (6pi/7) sont donc les racines du polynôme
a^3+a²-2a-1=0.