soit $P$ un polynôme de degré $n\geq 2$ admettant $n$ racines simples $x_1,\ldots,x_n$.
Notre but est de démontrer que $\displaystyle \sum_1^n\frac{P''}{P'}(x_k)=0$ où $P$ est la fonction polynomiale de $P$.
Ok, voyons voir...bon, déjà, je suppose que tu sais montrer des choses pour P'P:
Par exemple, P'/P étant une somme d'éléments simples de première espèce: P'/P= somme pour i allant de 1 à n des 1/(x-xi)) donc forcément P'/P est une fraction rationelle irréductible (car P et P' sont premiers entre eux vu que P est scindé à racines simples)...
de pôles qui sont exactement les xi. On peut dire plein d'autres choses: par exemple P'/P est développable en série entière sur un intervalle ouvert centré sur 0 et dont la largeur maximale est deux fois la le minimum des valeurs absolues des xi...
On a : $\dfrac{P''}{P}(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{\alpha_k}{X-x_k}$ avec $\alpha_k=\dfrac{P''}{P'}(x_k)$.
En multipliant par $X$ chaque membre, on aboutit immédiatement au résultat...
Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Par exemple, P'/P étant une somme d'éléments simples de première espèce: P'/P= somme pour i allant de 1 à n des 1/(x-xi)) donc forcément P'/P est une fraction rationelle irréductible (car P et P' sont premiers entre eux vu que P est scindé à racines simples)...
de pôles qui sont exactement les xi. On peut dire plein d'autres choses: par exemple P'/P est développable en série entière sur un intervalle ouvert centré sur 0 et dont la largeur maximale est deux fois la le minimum des valeurs absolues des xi...
En multipliant par $X$ chaque membre, on aboutit immédiatement au résultat...