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Polynôme, mais...

Envoyé par achille 
achille
Polynôme, mais...
il y a douze années
soit $P$ un polynôme de degré $n\geq 2$ admettant $n$ racines simples $x_1,\ldots,x_n$.
Notre but est de démontrer que $\displaystyle \sum_1^n\frac{P''}{P'}(x_k)=0$ où $P$ est la fonction polynomiale de $P$.
Re: Polynôme, mais...
il y a douze années
avatar
Il suffit d’écrire $P=a\prod_{i=1}^n (X-x_i)$, non ?
achille
Re: Polynôme, mais...
il y a douze années
je n'ai pas encore résolu l'exo, je tâtonne toujours, ton idée est la première à se présenter à l'esprit mais "il suffit" est loin d'en dire tout...:P
SXB
Re: Polynôme, mais...
il y a douze années
Ok, voyons voir...bon, déjà, je suppose que tu sais montrer des choses pour P'P:

Par exemple, P'/P étant une somme d'éléments simples de première espèce: P'/P= somme pour i allant de 1 à n des 1/(x-xi)) donc forcément P'/P est une fraction rationelle irréductible (car P et P' sont premiers entre eux vu que P est scindé à racines simples)...

de pôles qui sont exactement les xi. On peut dire plein d'autres choses: par exemple P'/P est développable en série entière sur un intervalle ouvert centré sur 0 et dont la largeur maximale est deux fois la le minimum des valeurs absolues des xi...
achille
Re: Polynôme, mais...
il y a douze années
et bien non j'ignorais tout cela...Mais maintenant que tu m'as donné des pistes je chercherai, merci bienthumbs down
Re: Polynôme, mais...
il y a douze années
avatar
On a : $\dfrac{P''}{P}(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{\alpha_k}{X-x_k}$ avec $\alpha_k=\dfrac{P''}{P'}(x_k)$.
En multipliant par $X$ chaque membre, on aboutit immédiatement au résultat...
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