Association matrice/quaternion
Bonjour tout le monde.
Le motif de mon message est le suivant. Nous avions vu en cours très brievement la relation entre les quaternions et les matrices, mais je n'ai pas vraiment compris car le prof est allé beaucoup trop vite et n'a pas assez expliqué. Du coup en partiel (qu'un autre prof a rédigé), un exercice de ce genre et tombé et je n'ai pas réussi à le faire.Cos
J'aimerais donc qu'on m'explique, comment, à partir d'une matrice donnée, on associe un quaternion, et en déduire les produits de rotations et de symétries.
Prenons par exemple, la matrice M = 1/3 ( 2 2 1 )
( -1 2 -2)
( -2 1 2 )
qui est la matrice d'une rotation et qui s'exprime dans une autre base {u, v, w}
sous la forme
M' = ( 1 0 0 )
( 0 cosa -sina)
( 0 sina cosa)
il est facile de trouver l'axe et l'angle de la rotation, mais là ou ça se corce c'est quand il demande:
Déterminer un quaternion $p_s$ tel que f = $p_s$
et enfin de déterminer la décomposition de f en produit de 2 symétries planes et produit de 2 symétries droites.
Merci de l'aide que vous pourrez m'apporter (et de l'édition en latex de mes matrices s'il vous plait).
Le motif de mon message est le suivant. Nous avions vu en cours très brievement la relation entre les quaternions et les matrices, mais je n'ai pas vraiment compris car le prof est allé beaucoup trop vite et n'a pas assez expliqué. Du coup en partiel (qu'un autre prof a rédigé), un exercice de ce genre et tombé et je n'ai pas réussi à le faire.Cos
J'aimerais donc qu'on m'explique, comment, à partir d'une matrice donnée, on associe un quaternion, et en déduire les produits de rotations et de symétries.
Prenons par exemple, la matrice M = 1/3 ( 2 2 1 )
( -1 2 -2)
( -2 1 2 )
qui est la matrice d'une rotation et qui s'exprime dans une autre base {u, v, w}
sous la forme
M' = ( 1 0 0 )
( 0 cosa -sina)
( 0 sina cosa)
il est facile de trouver l'axe et l'angle de la rotation, mais là ou ça se corce c'est quand il demande:
Déterminer un quaternion $p_s$ tel que f = $p_s$
et enfin de déterminer la décomposition de f en produit de 2 symétries planes et produit de 2 symétries droites.
Merci de l'aide que vous pourrez m'apporter (et de l'édition en latex de mes matrices s'il vous plait).
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Réponses
http://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion
Joaopa
Voir Encore des Maths! d'Eric Sorosina; le pb 1 , dont la partie ll est intitulée "Quaternions et rotations" répond à la première partie de ta question.
C'est plutôt longuet mais intéressant.
Merci à toi bs et merci d'avance à ceux qui répondront à mon appel à l'aide.
http://perso.orange.fr/megamaths/annce.html
On a, d'après "L'aventure des nombres" de Gilles Godefroy, l'isomorphisme : de sorte que :
q = a + bi + cj + dk =
[a,-c,-b, d]
[c, a, d,-b]
[b,-d, a, c]
[d, b,-c, a]
qui est une matrice antisymétrique.
On a donc X'=p_sX soit p_s=X'X-1 avec X le quaternion pur correspondant à un vecteur u et X' le quaternion pur correspondant à f(u).
Normalement ça doit marcher.
Un vieux message:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,314569,314569#msg-314569
Je crois que c'est ça, tu devrais facilement le trouver sur le net, c'était dans mon cours de sup ...
Pour une symétrie droite ça ressemble un peu ...
En espérant t'avoir aidé (et ne pas avoir dit de bêtises) ...
Teg