Anneaux Noetheriens 2

Tu te donnes une suite croissante U_n d'ideaux de A[X] et tu construis alors une suite d'ideaux de A a deux indices I_n,k te donnant les coefficients dominants des polynomes de degre au plus k de U_n. Cette suite double est croissante a la fois par rapport a n et a k. Elle stationne donc par rapport a n pour tout k et on pose I_k la limite en n des I_n,k. Puis, la suite I_k stationne a I et alors il existe k_0 tel que I_{k_0} = I. Il existe alors n_0 pour lequel I_{n_0,0} = I_0 ... I_n_0,k_0 = I_{k_0}. Et pour tous les k plus grand, par stationnement, I_n_0,k est aussi egal a I_k.

Alors, la suite U_n stationne a U_{n_0}, car on montre facilement (en tout cas pas difficilement) par recurrence sur k que les deux ideaux ont le memes polynomes de degre au plus k (j'ai un peu la flemme de faire cette recurrence).

Mais tout ceci est tres classique et tu dois le trouver dans tout bon cours d'algebre.

Tu te donnes une suite croissante $U_n$ d'ideaux de $A[X]$ et tu construis alors une suite d'ideaux de A a deux indices $I_{n,k}$ te donnant les coefficients dominants des polynomes de degre au plus $k$ de $U_n$. Cette suite double est croissante a la fois par rapport à $n$ et a $k$. Elle stationne donc par rapport a $n$ pour tout $k$ et on pose $I_k$ la limite en $n$ des $I_{n,k}$. Puis, la suite $I_k$ stationne a $I$ et alors il existe $k_0$ tel que $I_{k_0} = I$. Il existe alors $n_0$ pour lequel $I_{n_0,0} = I_0 ... I_{n_0,k_0} = I_{k_0}$. Et pour tous les k plus grand, par stationnement, $I_{n_0,k}$ est aussi egal a $I_k$.

Alors, la suite $U_n$ stationne a $U_{n_0}$, car on montre facilement (en tout cas pas difficilement) par recurrence sur k que les deux ideaux ont le memes polynomes de degre au plus k (j'ai un peu la flemme de faire cette recurrence).

Ci-dessus copié-collé du msg de (Frederic) le 1er post, avec case latex cochée... Je comprends pourquoi les modérateurs n'avaient pas juste fait un "case latex;)", j'ai galéré à mettre les dollars...


{\it Mais tout ceci est tres classique et tu dois le trouver dans tout bon cours d'algebre}

Bah justement: tous ces beaux et abstraits résultats d'algèbre commutative ne se trouvent hélas pas si facilement regroupés quelque part. Chacun se trouve dans son thème, mais dans l'ensemble il manque une référence qui les contient tous! (Anatole m'a parlé d'un livre de "Quérré") mais il est épuisé...

Merci pour cette référence