Nombres de Bell

bonjour

On considère la fonction de Bell f définie par $f(x) = exp(e^x - 1)$ quelle que soit la variable réelle x, f est positive, croissante, convexe

on définit les nombres de Bell $B_n$ comme étant les nombres dérivés de f pour x nulle soit d'après Taylor (ou Mac-Laurin)

$exp(e^x - 1) = 1 + B_1\frac{x}{1!} + B_2\frac{x^2}{2!} + B_3\frac{x^3}{3!} + ........+ B_n\frac{x^n}{n!} +.......$

les nombres de Bell de par la structure de f et de ses dérivées successives sont tous entiers naturels. On trouve :

$B_1 = f(0) = 1$, $B_2 = f'(0) = 2$ , $B_3 = 5$ , $B_4 = 15$ , $B_5 = 52$ , $B_6 = 203$ , $B_7 = 877$ , $B_8 = 4140$ etc.

les nombres de Bell sont aussi les limites des séries numériques : $B_n = \frac{1}{e}\Sigma_0^{+\infty}\frac{p^n}{p!}$

en effet $f(x) = exp(e^x - 1) = \frac{1}{e}\Sigma_0^{+\infty}\frac{e^{px}}{p!}$

et en identifiant le monôme $x^n$ dans les deux développements nous trouvons $B_n$
sous forme de série numérique dont la limite est entière ce qui n'était pas évident

on peut établir une relation de récurrence entre les $B_n$ nombres de Bell en effet :

$B_{n+1}=\frac{1}{e}\Sigma_0^{+\infty}\frac{p^{n+1}}{p!} = \frac{1}{e}\Sigma_0^{+\infty}\frac{(1+p)^n}{p!} = \frac{1}{e}\Sigma_0^n\dbinom{n}{p}e.B_n$

après utilisation du développement du binôme de Newton

il vient donc la relation de récurrence particulièrement simple
qui rappelle celle entre les nombres de Bernoulli (dont la croissance en valeur absolue est équivalente)

$B_{n+1} = 1 + \dbinom{n}{1}.B_1 + \dbinom{n}{2}.B_2 + ............ + \dbinom{n}{n}.B_n$

cordialement