Nombres de Bell
dans Algèbre
Bonjour,
Je n'arrive pas à établir la formule de récurrence pour les nombres de Bell (cf. Wikipédia pour la définition). Pourriez-vous m'aider, SVP ?
Je cherche aussi à prouver que $B_n \geq 2^n$ pour $n \geq 5$. J'ai naturellement envie de faire de faire ça par récurrence, alors il faudrait montrer que pour $n \geq 5$ on a $3^n - 29 \geq 2^{n+1}$. C'est certainement vrai pour $n$ assez grand, puisque $\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{3^n}{2^{n+1}} = +\infty$, mais comment voir que
c'est vrai dès que $n \geq 5$.
Merci d'avance...
Je n'arrive pas à établir la formule de récurrence pour les nombres de Bell (cf. Wikipédia pour la définition). Pourriez-vous m'aider, SVP ?
Je cherche aussi à prouver que $B_n \geq 2^n$ pour $n \geq 5$. J'ai naturellement envie de faire de faire ça par récurrence, alors il faudrait montrer que pour $n \geq 5$ on a $3^n - 29 \geq 2^{n+1}$. C'est certainement vrai pour $n$ assez grand, puisque $\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{3^n}{2^{n+1}} = +\infty$, mais comment voir que
c'est vrai dès que $n \geq 5$.
Merci d'avance...
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Réponses
Si tu as le temps, tu peux jeter un coup d'oeil sur l'exercice numéroté 4.21 là-dedans, qui est corrigé un peu plus loin :
Est-il possible, si on a la formule de Bn, de la démontrer par récurrence?
Merci d'avance
On considère la fonction de Bell f définie par $f(x) = exp(e^x - 1)$ quelle que soit la variable réelle x, f est positive, croissante, convexe
on définit les nombres de Bell $B_n$ comme étant les nombres dérivés de f pour x nulle soit d'après Taylor (ou Mac-Laurin)
$exp(e^x - 1) = 1 + B_1\frac{x}{1!} + B_2\frac{x^2}{2!} + B_3\frac{x^3}{3!} + ........+ B_n\frac{x^n}{n!} +.......$
les nombres de Bell de par la structure de f et de ses dérivées successives sont tous entiers naturels. On trouve :
$B_1 = f(0) = 1$, $B_2 = f'(0) = 2$ , $B_3 = 5$ , $B_4 = 15$ , $B_5 = 52$ , $B_6 = 203$ , $B_7 = 877$ , $B_8 = 4140$ etc.
les nombres de Bell sont aussi les limites des séries numériques : $B_n = \frac{1}{e}\Sigma_0^{+\infty}\frac{p^n}{p!}$
en effet $f(x) = exp(e^x - 1) = \frac{1}{e}\Sigma_0^{+\infty}\frac{e^{px}}{p!}$
et en identifiant le monôme $x^n$ dans les deux développements nous trouvons $B_n$
sous forme de série numérique dont la limite est entière ce qui n'était pas évident
on peut établir une relation de récurrence entre les $B_n$ nombres de Bell en effet :
$B_{n+1}=\frac{1}{e}\Sigma_0^{+\infty}\frac{p^{n+1}}{p!} = \frac{1}{e}\Sigma_0^{+\infty}\frac{(1+p)^n}{p!} = \frac{1}{e}\Sigma_0^n\dbinom{n}{p}e.B_n$
après utilisation du développement du binôme de Newton
il vient donc la relation de récurrence particulièrement simple
qui rappelle celle entre les nombres de Bernoulli (dont la croissance en valeur absolue est équivalente)
$B_{n+1} = 1 + \dbinom{n}{1}.B_1 + \dbinom{n}{2}.B_2 + ............ + \dbinom{n}{n}.B_n$
cordialement