Réduction d'endomorphismes

Sans garantie, je ne suis pas spécialiste:

A cause du théorème de Cayley Hamilton, l'espace entier est somme directe des sous-espaces caractéristiques (je suppose que tu sais ce que c'est sinon, tu n'en parlerais pas)

En factorisant le polynome caractéristique comme produit de facteurs de la forme $(X-\lambda)^n$, on est plus ou moins sans perte de généralité ramené à se poser la question quand il n'y a qu'une seule valeur propre.

Vraiment sans garantie, je ne parierais pas sur le sens d'un seul des mots que j'utilise à 100$\%$ tellement ces sujets m'accrochent peu...

Mais bon, si ça peut aider

Une autre façon de le voir est de dire ceci:

un endomorphisme est diagonalisable ssi on peut trouver une base de vecteurs propres

Or, si la dimension d'un espace caractéristique est différente de la multiplicité (et donc est strictement inférieure à celle-ci) on n'a "pas assez" de vecteurs propres

Par exemple, prenons un endomorphisme f de $R^3$ de polynôme caractéristique $X^3$ mais dont l'espace caractéritique (ici, ker(f) ) serait uniquement de dimension 2

Alors, on ne pourra trouver au plus que 2 vecteurs de ker(f) libres. On n'aura pas de base de $R^3$ qui diagonalise la matrice de f. Ceci est logique car sinon, cela voudrait dire que la matrice de f serait semblable à la matrice nulle (ce qui n'est pas le cas, puisque dim( ker(f) ) < 3

Effectivement, j'ai parlé de sous-espace propre, pas de sous-espace caractéristique. Je ne trouve pas dans mon Godement la notion de sous-espace caractéristique.

Bruno

Merci Borde, je me doutais bien que c'était de cette eau là.

Bruno

Le premier entier $p$ tel que l'endomorphisme nilpotent $(u - \lambda\,\mathrm{Id})^p$ soit nul.

Bruno

Bon, ces définitions étant posées, il faut voir ce qui te gêne dans la formulation que tu cites au début.

Pour cela, il faut revenir à une définition du mot "diagonalisable". On peut prendre celle-ci :

Soit $E$ un EV de dimension finie (sur un corps algébriquement clos). Un endomorphisme $u$ est diagonalisable si et seulement si $E$ est somme directe des sous-espaces propres de $E$.

Il faut avoir en vu le théorème de base suivant (théorème spectral) : Pour un endomorphisme $f$ {\it quelconque}, $E$ est somme directe des sous-espaces {\it caractéristiques} de $f$ (lire le message de Christophe Chalons plus haut).

La dimension de ces sous-espaces caractéristiques est égale à la multiplicité de la valeur propre dans le polynôme caractéristique.

Ceci est-il suffisant ?

Borde.

Avant d'aller à la gym (bonnes réoslutions), une petite mise en jambe corvéeuse me rendra courageux.

D'après le théorème de Cayley Hamilton le polynôme caractéristique annule la matrice. En fait, sans Cayley Hamilton, on sait beaucoup plus facilement qu'il EXISTE un polynome qui l'annule (à justifier)

Supposons que ce polynome soit factorisé comme un produit fini de facteurs de la forme $(X-\lambda)^{n(\lambda)}$ (où $\lambda$ "parcourt" les valeurs propres). Pour chaque valeur propre $\lambda$, l'ensemble des vecteurs colonnes T tels que $MT=\lambda T$ est un ev appelé espace propre. Et je crois que l'ensemble des vecteurs colonnes T tels que $(M-\lambda identite)^{n(\lambda)}T=0$ est appelé espace caractéristique

A cause du théorème de Bézout (une des découvertes les plus géniales du monde), il existe des polynômes $R_\lambda$ de manière que la somme quand $\lambda_0$ parcours les valeurs propres des produits des produits pour $\lambda \neq \lambda _0$de $(X-\lambda)^{n(\lambda)}\times R_\lambda_0$ valent 1.

Je crois* que c'est un exercice assez facile d'obtenir que les espaces propres sont en somme directe, et que les sous-espaces caractéristiques sont aussi en somme directe égale à l'espace entier à cause du Bézout ci-dessus.

Supposons que les sous-espaces propres ont leur somme directe qui donne l'espace entier, alors ces sous-espaces propres sont égaux aux sous espaces caractéristiques et ont donc même dimension qu'eux

La réciproque est "évidente"

Il reste la question: la dimension du sous-espace caractéristique associé à $\lambda$ est-elle forcément $n(\lambda)$?

Et bin, c'est que je me la raconte, mais.... j'ai franchement pas le courage d'y regarder de plus près. Il semble que ce ne soit qu'affaire de dénombrement, liée au fait que la somme des $n(\lambda)$ doit donner la dimension de l'espace entier, en rappelant que là joue le fait qu'on parle du polynôme caractéristique et non d'un polynome annulateur quelconque...

à suivre donc... lol

*Franchement, je me trompe peut-être (et même surement!) parce que l'argument bézout devrait marcher avec n'importe quel polynome annulateur...