Base de K[[X]] ?

Exact...Pour la même raison que l'on ne peut pas exhiber de base concrète de l'espace des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

Par exemple, si on prend $K=\mathbb{R}$, les séries formelles

$$e^{\alpha X}=\sum\frac{\alpha^n}{n!}X^n$$ sont linéairement indépendantes lorsque $\alpha$ parcourt $\mathbb{R}$.

Tout simplement parce que si on veut prendre des sommes infinies, cela signifie qu'implicitement on a une notion de convergence, et donc il faut mettre une topologie sur ton espace.

C'est en tout cas comme ça que je le vois. Au passage, quand on parle de complétion, on complète par rapport à une topologie.


Maintenant, imaginons que l'on soit dans l'espace de Hilbert $\ell^2$. On a deux façons de considérer cet espace. En tant qu'espace vectoriel idiot, il a une base infinie (non dénombrable).
En tant qu'espace topologique, la famille $(e_n)_{n\geq 0}$ est une famille {\bf normale}, c'est-à-dire que l'espace vectoriel engendré est dense pour la topologie.


C'est la bonne notion qui remplace la notion de famille génératrice, car elle tient compte de la topologie sur $\ell^2$.

On a alors une base topologique (i.e famille libre et normale). Tout élément de $\ell^2$ s'écrit comme "combinaison linéaire infinie" des $e_n,n\geq 0$ de façon unique.

Sauf erreur...j'ai pas fait de Hilbert depuis 1994 lol

Je me pose une question : j'ai l'impression que KX est toujours de dimension non dénombrable sur K (Baire ?). Quelqu'un confirme ?

Si c'est vrai, ça donne une réponse immédiate à : montrer que la K-algèbre KX n'est pas de type fini, alors que la solution qu'on m'avait donnée pour ce dernier exercice est un peut plus compliquée...

Merci Greg, si je traduis :

- Si K est dénombrable, alors KX est de dimension non dénombrable car non dénombrable.

- Si K est non dénombrable, on prend des exponentielles comme tu l'a déjà fait.

C'était bien ta pensée ?

remarque : où est le problème avec R ?

PS : K^N a parfois le même cardinal que K^(N). Par exemple si K=R. Preuve (en omettant les "card" et en notant < pour inférieur ou égal) : R<R^(N)<R^N=(2^N)^N=2^(N^2)=2^N=R.

Ok, j'ai rien dit pour le cardinal. Pour le premier truc, je ne comprends pas pourquoi $KX$ non dénombrable implique qu'il est de dimension non dénombrable.

Si K est dénombrable, tout K-ev de dimension dénombrable est dénombrable.

Exemple de preuve : tout K-ev de dimension finie est dénombrable. Ensuite, un K-ev de dimension dénombrable est une union dénombrable (croissante) de K-ev de dimensions finies.

Pardon...j'ai seulement démontré que $KX$ était non dénombrable, j'avais mal lu la question...Cela n'implique pas a priori que $KX$ est de dimension non dénombrable.

Je résume l'argument complet, du a PB a $99\%$:


1) Si $K$ est non dénombrable, on prend effectivement les series $\frac{1}{X-\alpha}=\sum \alpha^n X^n$. (On ne peut pas prendre les séries exponentielles car $K$ pourrait être de caractéristique positive!)

2) Si $K$ est dénombrable, alors tout $K$-ev de dim. denombrable est denombrable.

3) Comme $KX$ est non denombrable, si $K$ est denombrable, cela implique
que $K[X]]$ est de dim non denombrable par 2).

GreginUK Écrivait:

---

> Tout simplement parce que si on veut prendre des
> sommes infinies, cela signifie qu'implicitement on
> a une notion de convergence, et donc il faut
> mettre une topologie sur ton espace.
>
> C'est en tout cas comme ça que je le vois. Au
> passage, quand on parle de complétion, on complète
> par rapport à une topologie.
>

Je suis d'accord dans l'idée, mais la question que je me pose, c'est "à quel niveau la notion de somme infinie viole les axiomes des espaces vectoriels" ? je suis d'accord que la notion de completion se rattache a une notion de topologie, mais d'un autre coté, si je fixe un ensemble $S$ quelquonque, et que je considere l'ensemble des sommes formelles (eventuellement infinie, mais peu importe c'est formel!!!) sur cet ensemble, j'ai envie de dire que c'est un espace vectoriel dont une base est $S$....

Je le sais, c'est pour ca que j'ai dit "j'ai envie de dire que", parce que ca m'intrigue.

Est ce que ca vient de la definition d'espace vectoriel, ou de la definition de base ? Quitte a lui donner un autre nom, n'est il pas possible de donner un sens au fait que S est une sorte de base ? parce que moralement, elle est libre, et elle est generatrice pour peu que j'autorise les sommes infinies, ce qui est le cas puisque mon "truc" est defini comme ca..

Je ne sais pas si c'est clair, et c'est sans doute doute du coupage de cheveux en 4, mais ca m'intrigue. Si j'autorise des sommes infinies pour construire mon ensemble, pourquoi les refuserai-je dans ma definition de "generatrice" ? $S$ engendre bien mon espace et d'une "maniere lineaire" il me semble...

Il y a un formalisme pour ce que tu veux : les espaces vectoriels topologiques (notion de combinaisons linéaires (finie) + une topologie (compatible)).

Par exemple, si $K$ est un corps quelconque et $I$ un ensemble quelconque, on peut muni $K$ de la topologie discrète et le $K$-ev $E=K^I$ de la topologie produit (qui n'est pas discrète si $I$ est infini). Si $x=(x_i)$ est un élément de $E$, et si on note $\delta_i$ l'élément de $E$ qui vaut $1$ en $i$ et $0$ ailleurs, on a envie d'écrire :
$$x=\sum_i x_i \delta_i$$
Pas de problème : la famille à droite est sommable et a pour somme $x$

Dans un espace vectoriel topologique, on parle souvent de "s.e.v. fermé engendré par ..." (plus petit ensemble qui contient les combinaisons linéaires finies ou infinies). On a une notion de famille "génératrice" version combinaisons linéaires infinie, je crois qu'on dit "famille totale". On a une notion de "base" aussi, je crois qu'on dit "base de Schauder". Dans l'exemple ci-dessus, je ne serais pas étonné que les $\delta_i$ forment une base de Schauder (un spécialiste confirmera peut-être)

Je n'ai pas tout lu de la longue conversation sur les cardinalités, mais, si ça peut aider:

Une base B permet d'écrire chaque élément du K-ev d'une manière unique sous la forme d'une fonction de domaine fini inclus dans B à valeurs dans K

Votre conversation concerne donc le cardinal (en général) de l'ensemble T des dites fonctions. Il faudrait que je relise en détails vos "soucis", mais il y a plusieurs cas:

1) tout est infini (corps et base): dans ce cas, l'ensemble T est réunion dénombrable d'ensembles tous de cardinal égal à celui B×K (qu'est-ce que je suis content de taper des touches utf8 au clavier lol)

2) Le corps est fini mais pas B: T a alors le cardinal de B (je viens de déjeuner, 3 verres de vin, garantie 97%)

3) B est fini, mais pas K: T a le cardinal d'un des K^n

4) les 2 sont finis: blabla

Je pense que 1..4 donnent les réponses (enfin j'espère) à tel ou tel point discutés ci-dessus

Remarque: à très franchement parler, c'est seulement en présence de l'axiome du choix qu'on a le droit d'affirmer sans proces que E×E est de même cardinal que E

Mais c'est aussi seulement en présence de l'axiome du choix qu'on est bien inspiré de parler de "bases algébriques**" (mis à part exemples artificiels, la plupart des ev n'ont pas des bases canoniques qui se voient au premier coup d'oeil et l'axiome "tout espace vectoriel admet une base algébrique" implique (dans ZF) un axiome très proche de l'axiome du choix* (je me demande même si ça implique l'axiome du choix entier)

* je vous passe les détails...

** j'ai la flemme... famille libre telle que tout élément est combinaison linéaire finie (ne pas confondre avec "bases de Hilbert (je crois) ou autre) qui sont des familles libres engendrant des ev dont les adhérences (modulo telle ou telle topologie donnée, par exemple, celle du produit scalaire (hilbertien)) sont l'ev tout entier)

Si on prend K = Z/pZ, KX, muni d'une distance associée à la valuation canonique est un espace vectoriel topologique complet qui vérifie le théorème de Baire.Or si on a une base de cet espace.En prenant tous les vecteurs qui engendrent les fractions rationnelles à dénominateur une puissance de X, on obtient avec ces vecteurs et une partie de ceux qui restent,un sous-espace dense de codimension dénolmbrable qui ne vérifie donc pas la proporiété de Baire. Dans un modèle de type Solovay, où on a le choix dénombrable seulement et où toute partie de R(qui est en bijection borélienne avec KX on n'a alors pas de base pour KX.

Amitié

Anatole