polynômes

paulinette
paulinette
dans Algèbre
Bonjour, j'ai un petit problème à vous soumettre rien de très compliqué sûrement, mais je n'y arrive pas.

Résoudre dans K[X] l'équation : P - XP' = X.

Voilà, merci d'avance

Réponses

  • Joaopa
    Joaopa
    1ere methode: Poser $P=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n$.

    Methode 2: Deriver l'equation

    Joaopa
  • paulinette
    paulinette
    EN dérivant j'obtiens -XP''=1 ça me pose un probleme, non?
  • Joaopa
    Joaopa
    Donc, l'equation ...

    Joaopa
  • paulinette
    paulinette
    si XP"=1 alors deg (XP")=0
    donc le degré de P serait 1 ?
    Essayons ;
    Posons P(X)=aX+b P est solution dc P - XP' =X
    donc aX+b -aX =x et là ça ne va pas, il n'y a pas de solution donc c'est faux avant
  • Joaopa
    Joaopa
    > si XP"=1 alors deg (XP")=0 donc le degré de P serait 1 ?

    ????

    Plus simplement P'' est un polynome non nul (car sinon XP''=0=1) donc son degre est $\ge0$. Donc $\deg(XP'')\ge1$. Comme 1 est de degre 0, c'est impossible

    Joaopa
  • bisam
    bisam
    Allez, je vous offre une autre solution.

    En divisant l'équation de départ par $X^2$, on obtient : $$\left( \frac{P}{X}\right)'=\frac{XP'-P}{X^2}=-\frac{1}{X}$$
    Comme $-\frac{1}{X}$ n'a pas de primitive dans l'ensemble des fractions rationnelles $K(X)$, on en déduit qu'il n'y a pas de solution.
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