Révision Algèbre
dans Algèbre
Amis, Bonsoir,
Me revoilà donc après un survol sur le cours et Tds, d'algèbre, j'ai quelques questions à vous poser et j'ai donc besoin de votre aide :
{\bf 1ère question} :
Soit $\beta = \sqrt[4]{5}$ (désolée je suis vraiment nulle en Latex)
Calculer $[\Q(\beta):\Q]$
Ce que je propose c'est expliciter $\Q(\beta)$ donc
$$\Q(\beta) = \left\{ a + b \sqrt[4]{5}+ c \sqrt[4]{5}^2+ d \sqrt[4]{5}^3 \right\}$$ $a,b,c,d$ des rationnels }
ensuite on a $(a,b,c,d)$ base de dimension 4 donc le degré de l'extension est égal à 4 ..
Et en fait ce n'est pas ce que nous avons fait en Tds, on était passé par le polynôme minimal, je l'ai compris certes, mais la première est correcte ?
{\bf 2ème question} :
$K(\alpha)$ extension de $K$ (corps) de degré $n$, j'aimerais montrer que $\alpha$ est algébrique.
En cours j'ai que la famille $a^i$ (je ne sais pas d'où sort-elle ) est liée on trouve une CL dont $\alpha$ est racine, bon ceci étant je n'ai compris que la conclusion LOL
{\bf 3ème question} :
Soit $P$ un polynôme de $\Q[X]$ avec $P= X^4 +2X^3+6X^2+X+9$
Et j'aimerais montrer que la réduction de $P$ modulo 2 est irréductible de $\mathbb{F}_2[X]$
Voilà ça suffira pour le moment, et en vous remerciant .
Cordialement
[Ca n'est pas si dur le LaTex Jobherzt]
Me revoilà donc après un survol sur le cours et Tds, d'algèbre, j'ai quelques questions à vous poser et j'ai donc besoin de votre aide :
{\bf 1ère question} :
Soit $\beta = \sqrt[4]{5}$ (désolée je suis vraiment nulle en Latex)
Calculer $[\Q(\beta):\Q]$
Ce que je propose c'est expliciter $\Q(\beta)$ donc
$$\Q(\beta) = \left\{ a + b \sqrt[4]{5}+ c \sqrt[4]{5}^2+ d \sqrt[4]{5}^3 \right\}$$ $a,b,c,d$ des rationnels }
ensuite on a $(a,b,c,d)$ base de dimension 4 donc le degré de l'extension est égal à 4 ..
Et en fait ce n'est pas ce que nous avons fait en Tds, on était passé par le polynôme minimal, je l'ai compris certes, mais la première est correcte ?
{\bf 2ème question} :
$K(\alpha)$ extension de $K$ (corps) de degré $n$, j'aimerais montrer que $\alpha$ est algébrique.
En cours j'ai que la famille $a^i$ (je ne sais pas d'où sort-elle ) est liée on trouve une CL dont $\alpha$ est racine, bon ceci étant je n'ai compris que la conclusion LOL
{\bf 3ème question} :
Soit $P$ un polynôme de $\Q[X]$ avec $P= X^4 +2X^3+6X^2+X+9$
Et j'aimerais montrer que la réduction de $P$ modulo 2 est irréductible de $\mathbb{F}_2[X]$
Voilà ça suffira pour le moment, et en vous remerciant .
Cordialement
[Ca n'est pas si dur le LaTex Jobherzt]
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Réponses
Mes souvenirs de Théorie de Glois sont lointain, mais j'essaie :
1) c'est a priori correct, mais ca marche bien un peu par hasard. en fait il faut que les $\sqrt[4]{5}^i$ soient $\Q$-linéairement indépendant pour i variant de 0 a 3, ce qui est assez clair dans ton cas mais pas toujours... En general, on cherche le polynome minimal de l'element (qui est quand meme assez evident ici, n'est ce pas ?) et on regarde son degré.
le 2) j'aurais dit que c'etait quasiment une definition (extension de degré finie => extension algébrique), donc je passe, il doit y avoir un truc.
Pour la deuxième question, $K(\alpha)$ est de degré fini $n$ sur $K$. Cela veut dire que $K(\alpha)$ est un $K$-espace vectoriel de dimension $n$, donc la famille $(1,\alpha,\alpha^{2},\ldots,\alpha^{n})$ est liée sur $K$, donc ...
Pour la troisième question, réduire modulo 2 et voir ce qu'il se passe quand on essaie de factoriser le polynôme obtenu.
[Edit : la case LaTeX...]
NB : c'est facile de calculer tous les polynômes irréductibles de degré 2 dans $\mathbb{F}_2$.
Merci pour vos réponses,
alors j'ai compris, la première réponse et la troixième, et j'aurais aimé un peu plus de détail pour la question 2,
en vous remerciant !
P.S : Jo(nhatant?) ! Oui! ça faisait longtemps, dans la section algèbre, j'étais cependant très présente dans celle de topo
Pour la question 2 : $K(\alpha)$ est par definition un $K$-espace vectoriel de dimension $n$. Or, pour reprendre ce que dit Alp, $1=\alpha^0,\alpha,\alpha^2,\dots,\alpha^n$ sont bien sur des vecteurs de cet espace vectoriel, et si tu compte tu verras qu'il y en a $n+1$.
Or tu dois savoir depuis longtemps que si tu prends $n+1$ vecteurs dans un espace vectoriel de dimension $n$, alors ces vecteurs forment une famille lié (puisque les familles libres les plus grandes possibles sont les bases, qui contiennent exactement $n$ vecteurs).
Par conséquent, il existe des coefficients $\lambda_0,\dots, \lambda_n \in K$ tels que :
$$\sum_i \lambda_i \alpha^i=0$$
Ce qui revient exactement à dire que $\alpha$ est une racine du polynome :
$$P(X)=\sum_i \lambda_i X^i$$
Donc, $\alpha$ est algébrique.
Ça donne envie de la connaître...
Jobhertz! (je me gourre pas moi )
Sympa pour la petit histoire !