groupe libre
dans Algèbre
bonjour,
Ma question concerne les groupes libres tels qu'ils sont introduit dans le livre de S.Lang.
J'avais l'impression en lisant ce livre que les groupes libres était définis comme des applications (de meme que le groupe abelien libre engendré par S, identifié à Z(S), qui est un ensemble d'applications).
Mais je suis allé voir un livre dans ma BU et en fait ce n'est pas du tout ca.
Si quelqu'un a ce livre, peut il m'expliquer la définition qui est dedans.
Merci d'avance.
Ma question concerne les groupes libres tels qu'ils sont introduit dans le livre de S.Lang.
J'avais l'impression en lisant ce livre que les groupes libres était définis comme des applications (de meme que le groupe abelien libre engendré par S, identifié à Z(S), qui est un ensemble d'applications).
Mais je suis allé voir un livre dans ma BU et en fait ce n'est pas du tout ca.
Si quelqu'un a ce livre, peut il m'expliquer la définition qui est dedans.
Merci d'avance.
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Réponses
J'ai l'impression que les groupes libres sont définis comme des ensembles d'application.
Voilà, je cite:
"Considérons la catégorie C dont les objets sont les applications de S dans les groupes (...) Un groupe libre déterminé par S sera un élément universel dans cette catégorie".
Alors que dans le livre "théorie des groupes" présent dans ma BU, un groupe libre engendré par un ensemble S est défini comme (en gros) "le plus grand groupe issu de S"
Voilà le point que je ne comprends pas, d'un côté j'ai l'impression d'avoir affaire à des applications avec S comme ensemble de départ, de l'autre à des éléments de S combinés.
Le groupe libre $F$ engendré par S est tel que toute application de S dans un groupe $G$ s'etend de maniere unique en un morphisme de F vers G. Cela revient a dire que les elements de S sont "independant", cad que les images des uns ne contraignent pas les images des autres.
Note l'analogie avec l'espace vectoriel : c'est une structure "libre" car engendré par une base, et note que toute application de la base vers un autre e.v. s'etend de maniere unique en une appli. linéaire. C'est exactement la meme idée !!
L'autre definition est plus "constructive", c'est celle que tu cite, en gros c'est l'ensemble des mot sur les elements de S et de leurs "inverses" (dans un sens a definir), dans lesquels on supprime tousles sous-mots de la forme $xx^{-1}$ ou $x^{-1}x$. Donc c'est effectivement le groupe "le plus general" engendré par S, justement dans le sens ou il y a "le moins de contraintes possibles" sur les generateurs.
L'equivalence entre les 2 definitions est donc assez explicite, puisque il n'y a pas de relations entre les generateurs, on peut les envoyer "n'importe ou" tout en respectant les structures de groupes.
Un groupe libre est un groupe sans "torsion". Le terme torsion est assez evoquateur : prenons $\Z$ et $\Z / 5\Z$. Le premier est libre, pas le second. On peut représenter graphiquement $\Z$ come une suite de points alignés et $\Z / 5\Z$ comme les sommets d'un pentagone. On remarque alors que le second s'obtient en "enroulant" le premier sur lui même, d'où l'idée de torsion.
Evidement pour d'autres groupes libres on ne peut pas utiliser cette représentation (notamment car $\Z$ et le groupe trivial sont les seuls groupes libres abéliens).
L'idée de torsion rejoint ce que disait jobherzt : "les images des uns contraignent les images des autres." (en fait il énoncait la propriété contraire, pour le cas d'un groupe libre)
t-mouss
J'avoue ma perplexité :
1°) est-ce que $\Z \times \Z$ n'est pas le groupe abélien libre à deux générateurs ?
2°) $(\R,+)$ est indéniablement un groupe abélien sans torsion ? Est-il vraiment libre ?
Bruno
$\Z\times \Z$ est un groupe libre {\bf abélien}, càd satisfaisant la propriété universelle d'extension citée par Jobherzt, en se limitant aux groupes cibles abéliens, donc de sous-groupe dérivé trivial.
Je pense que T-Mouss parlait ici des groupes libres non abéliens (de type fini ?), parmi lesquels seuls $\{0\}$ et $\Z$ sont commutatifs.
Alain
En effet je fus très imprécis. D'un coté nous avons les groupes abéliens de type fini (TF) libres et d'un autre coté nous avons le groupe libre d'un ensemble...
En fait je voulais simplement dire que la notion de "groupe non abélien libre" est intimement liée à celle de "groupe abélien libre de TF" via l'exemple de $\Z$ (qui est le seul groupe libre d'un ensemble qui soit abélien, mis à part le groupe trivial bien entendu).
J'aurais dû effectivement expliciter qu'un groupe abélien de TF n'est rien d'autre qu'un $\Z$-module et qu'alors on peut définir la notion de "liberté" d'un élément, puis celle de groupe abélien libre.
Ainsi $(\R , +)$ n'est pas de TF donc il a le droit de ne pas être libre tout en ayant un groupe de torsion réduit à {0}.
Pour $\Z \times \Z$ il s'agit du groupe libre ABELIEN d'un ensemble à 2 éléments, or je parlais de groupe libre NON ABELIEN.
En tout cas merci à Bruno et AD sans qui je serais resté sur quelque chose d'assez confus.
t-mouss
[La case LaTeX. AD]
Bruno > La notion de "libre" peut s'appliquer a n'importe quelle structure. On peut parler de groupe, d'anneau, d'algebre, libre.
la ou il y a une subtilité, c'est qu'il y a 2 manieres de voir un groupe abélien : soit comme un ensemble qui possede une structure de groupe (ie qui verifie les axiomes de groupes) et qui a par ailleurs la propriété d'etre abelien, ou on peut considerer la notion de "groupe abelien" comme une structure a part entiere, cad un ensemble qui verifie les axiomes [groupe + commutativité].
Donc, $\Z$ est un groupe libre, qui en plus est abelien. $\Z^2$ n'est pas un groupe libre, donc ca n'est pas un groupe libre aui a la propriété d'etre abelien. par contre c'est un (groupe abélien) libre, cad qu'il est libre {\bf si la structure sous jacente considérée est celle de groupe abélien} prise comme une structure à part entière. De la meme maniere, les $K[X]$ sont des (algèbre commutatives) libres, mais pas des (algèbres libres) commutatives.
Je profite de ce fil pour poser une question :
Il me semble avoir entendu quelque part, sans en avoir jamais vu de démonstration, qu'un sous-groupe d'un groupe libre est libre. Est-ce vrai ? Comment ça se démontre ?
C'est-à-dire si $G$ est le groupe libre (pas abélien) sur un ensemble $S$, et $H$ un sous-groupe, alors il existe un ensemble $T$ tel que $H$ soit le groupe libre sur $T$ (est-ce qu'on a alors forcément $card(T) \leq card(S)$ si $S$ et $T$ sont finis ?).
Même question pour les groupes abéliens : Un sous-groupe de $\mathbb{Z}^{(S)}$ est il encore de la forme $\mathbb{Z}^{(T)}$
Ici je suppose $S$ infini, sinon c'est trivial.
En particulier, ceci montrerait que $\mathbb{R}$ n'est pas libre, car sinon $\mathbb{Q}$ le serait, or ce n'est pas le cas (il n'y a pas de partie libre de plus d'un élément).
Merci
Koski
je ne pourrais pas répondre à toutes tes questions mais à certaines, oui.
Q et R ne sont pas libres, en effet, ça a d'ailleurs déjà été dit dans ce fil pour R et pour Q la raison que tu évoques est la plus simple et la plus claire.
Un sous-groupe d'un groupe libre est libre mais je ne me rappelle plus par quel biais on le prend exactement (il y a un jeu, je crois, sur les longueurs des "mots" pour montrer qu'aucune relation autre que triviale du type "a.a^(-1)=e" n'existe).
Par contre, on n'a pas card(T)<=card(S), on peut même avoir T infini dès que card(S)=2, par exemple si G est le groupe libre engendré par {a,b} alors le sous-groupe engendré par a, ab, ab²,... est le groupe libre engendré par cette famille.
Mais le sous-groupe peut en effet avoir un rang plus grand que celui du groupe.
Il y a une preuve simple qui passe par la topologie algébrique. Sauf erreur, l'idée est la suivante : on associe au groupe libre G l'espace topologique X suivant :
Le dessin correspond à un groupe libre de rang 2. L'espace X est un arbre qui est le revêtement universel d'un bouquet B de cercles et G est le groupe de Galois de X->B, ou encore le groupe fondamental de B.
Le sous-groupe H est, par la théorie de Galois, le groupe de Galois d'un revêtement intermédiaire X->B' ou encore le groupe fondamental de B' (qui est un quotient de l'espace X).
On est ramené à une version topologique du théorème de Nielsen-Shreier : le groupe fondamental d'un espace topologique qui est un quotient d'un arbre est libre.
C'est éventuellement plus visuel que l'énoncé d'origine (voire trivial pour un habitué de la topologie algébrique ?), mais je ne sais plus bien que dire ensuite...
Sinon il y a aussi une présentation élémentaire, n'utilisant que le langage des groupes :
1) On munit G d'une structure d'arbre (comme sur le dessin) au sens :
- des sommets : les éléments de G.
- et des arêtes : x et y forment une arête si x=uy avec u=a,b,a',b' (a'=symétrique de a).
2) On démontre que G->G/H admet une section dont l'image T est connexe relativement à la structure d'arbre de G. C'est facile mais on utilise le lemme de Zorn je crois.
3) les translatés hT (ou Th ?) de T par des éléments de H partitionnent G. Cette partition, que l'on peut identifier à H (en identifiant hT à h), est munie d'une structure de graphe :
- les sommets sont les hT
- les arêtes : hT et h'T forment une arête s'ils se "touchent" au sens de la structure d'arbre de G.
Cette structure de graphe sur H est compatible avec les translations (à gauche ou à droite ?) : si deux sommets forment une arête, leurs images par une même translation forment également une arête. Pour montrer que H est libre, il suffit de montrer que la structure de graphe ci-dessus est en fait un arbre (c.a.d. connexe et simplement connexe). Mais ça c'est très évident sur un dessin !
PS : 1) 2) 3) c'est mon résumé d'un exercice du gros Bourbaki d'algèbre
Il me semble que c'est facile : le quotient de l'arbre est un graphe. Comme tous les graphes, il est homotope à un bouquet de cercle (pour le voir, on peut par exemple prendre un arbre maximal dans le graphe, et le rétracter en un point). Le groupe fondamental d'un bouquet de cercle est un groupe libre.