sous-modules et sous-espaces vectoriels

Damdu13 · January 2008

salut a tous,
tous sous-espace vectoriel d'un espace de dim finie est de dim finie. En revanche
si on considere un module finiment engendré, alors tous sous-module n'est pa necessairement lui-meme finiment engendré?
ou est ce que, par rapport a la theorie des espaces vectoriels, ca coince?
auriez vous un contre exemple?
merci

Michel Coste · January 2008

Bonsoir,

On peut fabriquer un contre-exemple avec un anneau non noethérien $R$ en prenant comme sous-$R$-module de $R$ un idéal $I$ qui n'est pas finiment engendré. Par exemple $R=\mathbb{C}[X_1,X_2,\ldots]$ (polynômes en une infinité de variables), et $I$ l'idéal des polynômes sans terme constant.

Cordialement,

MC

Alp · January 2008

Un sous-module d'un module de type fini est bien de type fini. Là où ça coince c'est qu'un module n'admet pas forcément une base, i.e. tout module n'est pas nécessairement libre, contrairement à un espace vectoriel. La différence principale se situe dans le fait que dans un espace vectoriel, une famille réduite à un élément non nul est toujours libre, pour un module ce n'est pas toujours vrai.

Alp · January 2008

J'ai dit une bêtise, le résultat est vrai si on considère un module sur un anneau principal.

bosio frederic0 · January 2008

Il me semble que c'est meme vrai pour les modules sur les anneaux noetheriens.

Michel Coste · January 2008

Oui, je confirme : tout sous-module d'un module de type fini sur un anneau noethérien $R$ est de type fini. Il suffit en fait de le montrer pour les modules libres $R^n$, et la démonstration est en gros la même que celle qui sert pour montrer que tout sous-module d'un module libre de type fini sur un anneau principal est libre de type fini.
Réciproquement, si $R$ n'est pas noethérien, il a un idéal qui n'est pas finiment engendré. C'est bien pour ça que j'ai donné ce contre-exemple plus haut.

Cordialement,

MC

sous-modules et sous-espaces vectoriels

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 21