problème d'endomorphisme cyclique

Bonjour à tous,

voila mon prof nous a filé un partiel de spé de 2005 concernant les endomorphismes cycliques, et je rencontre quelques difficultés.

Rappelons déjà la définition :

Soit $p$ dans $\mathbb {N}$ et $E$ un $\C$-espace vectoriel.
On dit qu'un endomorphisme $f$ de $E$ est cyclique d'ordre $p$ s'il existe un vecteur $u \in E$ vérifiant les trois conditions suivantes :
\begin{enumerate}
\item ${f}^p(u) =u$
\item La famille de vecteurs $(u, f(u), {f}^2(u), \ldots, {f}^{p-1}(u))$ est constituée de vecteurs distincts
\item La famille de vecteurs $(u, f(u), {f}^2(u), \ldots, {f}^{p-1}(u))$ est génératrice de $E$
\end{enumerate}
La famille de vecteurs $(u, f(u), {f}^2(u), \ldots, {f}^{p-1}(u))$ est alors appelée un cycle de $f$

Voilà maintenant l'exemple :

Dans cette partie, on prend $n=3$ et $B=({e}_1, {e}_2, {e}_3)$ une base de $E$. On considère l'endomorphisme $g$ de $E$ défini par sa matrice $A$ dans $B$
$$A=\begin{pmatrix}1&2&2\\1&1&2\\-2&-2&-3\end{pmatrix}$$
1) Vérifier que $({e}_1, g({e}_1), {g}^2({e}_1))$ est une base $E$, puis déterminer la matrice de $g$ dans cette base.
2) Monter que $g$ est cyclique d'ordre 4 et que $({e}_1, g({e}_1), {g}^2({e}_1), {g}^3({e}_1) )$ est un cycle de $G$

Mes questions :

Pour montrer que $({e}_1, g({e}_1), {g}^2({e}_1))$ est une base je n'ai pas de problème, on montre qu'elle est libre et comme c'est une famille de 3 vecteurs dans un ev de dimension 3 c'est une base. Le problème se pose pour sa matrice je ne vois pas comment exprimer $g({g}^2({e}_1))$ en fonction de $({e}_1, g({e}_1), {g}^2({e}_1))$.

La deuxième question, je ne vois pas du tout comment une famille de 4 éléments $({e}_1, g({e}_1), {g}^2({e}_1), {g}^3({e}_1) )$ peut être génératrice d'un ev de dimension 3, il y a quelques chose qui m'échappe.

Donc si quelqu'un pourrait éclairer ma lanterne, ça serait sympa.
Merci d'avance