Calcul d'exponentielle de matrice

Marsupilami · March 2008

Bonjour

Dans un rapport du jury d'agreg il est mentionné qu'on peut calculer facilement des exponentielles de matrice via les projecteurs sur les sous espaces caractéristiques
Comme exemple on donne :

si $A^2-3A+2I=0$ alors $exp(A)=(e^2-e)A+(2e-e^2)I$

Comment fait-on ?
Merci beaucoup

nicolas.patrois · March 2008

Écris la définition de l'exponentielle de A, et remarque que A²=3A-2I ?

Marsupilami · March 2008

d'accord avec toi mais où se sert-on des espaces caractéristiques ?

gb · March 2008

Le polynôme $X^2-3X+2 = (X-2)(X-1)$ est annulateur de $A$, scindé, à racines simples. Donc $A$ diagonalise et les sous-espaces caractéristiques sont les sou-espaces propres.
Si $P_1$ et $P_2$ sont les projecteurs sur les sous-espaces propres, on a, pour tout entier $n$, $A^n=P_1+2^nP_2$, donc $\exp(A)=eP_1+e^2P_2$.
De $\left\{ \begin{array}{l} I=P_1+P_2 \\ A=P_1+2P_2 \end{array} \right.$, on déduit $\left\{ \begin{array}{l} P_1=2I-A \\ P_2=A-I \end{array} \right.$, et finalement $\exp(A)=e(2I-A)+e^2(A-I)=(e^2-e)A + (2e-e^2)I$.

Ritchie · March 2008

Bonjour,

Pour une référence agrégative il y a un calcul de ce type dans le Mneimné, Réduction des endomorphismes.

Une autre méthode que j'aime bien :
$A$ est annulée par le polynôme scindé à racines simples $T^2-3T+2 = (T-1)(T-2)$, donc diagonalisable : $A = P^{-1} \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n )P$.

Soit $L$ le polynôme d'interpolation de Lagrange vérifiant :
$L(1) = e$ et $L(2) = e^2$.
$e^A$ est un polynôme en $A$ :
\begin{align*}
e^A &= Q(A) \\
&= Q(P^{-1}\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n )P) \\
&=P^{-1}Q(\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n ))P \\
&=P^{-1} \mathrm{diag}(Q(\lambda_1),\dots,Q(\lambda_n) )P \\
&=P^{-1} \mathrm{diag}(L(\lambda_1),\dots,L(\lambda_n) )P \\
&=P^{-1} L(\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n ))P \\
&=L(P^{-1}\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n )P \\
&=L(A)
\end{align*}
Ici, $L(X) = e(2-X)+e^2(X-1)$, ce qui donne le résultat.

Cordialement,
Ritchie

stephane · March 2008

Bonsoir Ritchie, j'aime bien introduire un polynôme d'interpolation de Lagrange, mais comment savoir si ce polynôme existe vraiment ?

Autre question, pour cet exemple, on a : $ e^A=L(A)$. comment avez-vous trouvé que $ L(T) = e(2-X)+e^2(X-1)$ ?

jean lismonde · March 2008

bonsoir

soit $A$ une matrice carrée de format $2X2$ et de valeurs propres distinctes $r_1$ et $r_2$

et soit $f$ une fonction numérique alors:

$f(A) = A.[f(r_1) - \frac{f(r_2)}{r_1 - r_2}] + I.\frac{r_1.f(r_2) - r_2.f(r_1)}{r_1 - r_2}$

si $f(x) = \exp(x)$ et si $r_1 = 2$ et $r_2 = 1$ (valeurs propres de $A$) alors

$\exp(A)= (e² - e)A - (e² - 2e)I$

cordialement

Ritchie · March 2008

Bonsoir Stéphane,

Je te renvoie à \lien{http://fr.wikipedia.org/wiki/Interpolation_lagrangienne} pour la définition, l'existence, l'unicité et l'écriture explicite du polynôme interpolateur de Lagrange de degré n interpolant n+1 points.

Pour Jean : je pense que c'est la même méthode. Elle marche d'ailleurs dans le cas général d'une matrice carrée de taille n.

Cordialement,
Ritchie

stephane · March 2008

je sais qu'on fait : SOMME des exp(valeur propre i)*vecteur propre i , comment trouver les vecteurs propre?

Ritchie · March 2008

stephane a écrit:

je sais qu'on fait : SOMME des exp(valeur propre i)*vecteur propre i , comment trouver les vecteurs propre?

Euh... C n'est pas du tout le principe de l'interpolation de Lagrange. Je te conseille vraiment d'aller voir le lien que je t'ai donné plus haut.

Cordialement,

Ritchie

LHOMME · May 2008

Bonjour,

Dans un article d'une revue scientifique sur le calcul de puissance matriciel, sont mentionné les interpolateurs de Lagrange. Mais l'auteur reste assez vague sur le sujet.

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer à quoi servent-ils à calculer une matrice puissance n ?..

Merci.

bisam · May 2008

Regarde le message de Ritchie, quelques lignes plus haut !

GreginGre · May 2008

Salut,

voici un article que j'ai écrit qui pourrait t'aider. Il y a peut-être des coquilles...

nesssnousss · October 2013

gb écrivait: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,430051,430089#msg-430089
[Inutile de répéter un précédent message. Un lien suffit. AD]

Bonjour,
quelqu'un peut-il m'expliquer pourquoi les sous-espaces caractéristiques sont exactement les sous-espaces propres ici ?
Je ne comprends pas pourquoi $X^2-3X+2 = (X-2)(X-1)$ est annulateur, implique que 1 et 2 sont les valeurs propres ?
On peut seulement en déduire que $Sp(f)\subset \{1;2\}$ ?
C'est ce point qui me pause problème, sinon j'aimerais bien présenter cet exo dans mon développement (leçon 156 valeurs propres : recherche et utilisation) comme application à l'exponentielle de matrice.
Merci d'avance pour vos explications.