Elément idempotent d'anneau

Marouane · May 2008

Bonjour j'ai un petit problème à vous proposer:
$A$ désigne un anneau commutatif, unitaire et non trivial.
Un élément $a \in A$ est dit idempotent si $a^2=a$.
1) Montrer que si $e \in A$ est idempotent, alors $(e) = \{ae / a \in A
\}$ est un anneau commutatif et unitaire.
2) Montrer que si $e$ est idempotent, alors $A \simeq (e) \times (1-e) $ (en tant qu'anneaux).

Voilà ce que j'ai fait :
Soit $x,y \in (e)$ tel que $x=ae$ et $y=be$ alors $xy = aebe = beae = yx$ puisque $A$ est commutatif.
Pour montrer qu'il est unitaire je ne sais pas comment faire et c'est ainsi pour la question suivante.
Un petit coup de main...
Merci d'avance .

le barbant raseur · May 2008

Pour la première question, tu veux montrer que (e) est un sous-anneau de A. Un sous-anneau d'un anneau commutatif est automatiquement un anneau commutatif.

Il te faut donc montrer que (e) contient 0 et 1, est stable par addition et par produit.

En reprenant ton paragraphe visant à montrer que (e) est bien commutatif, tu montreras aisément la stabilité par produit.

Mettons que tu aies montré également la stabilité par somme et que (e) contient 0. Il ne reste plus qu'à montrer que (e) contient 1, c'est à dire à trouver un élément a de A pour lequel ae=1. N'y a-t-il pas un candidat tout trouvé ?

le barbant raseur · May 2008

La seconde question me laisse perplexe.

Dans $\Z/3\Z=\{-1,0,1\}$, $e=-1$ est idempotent et $1-e=1+1=-1=e$, et $(e)=\Z/3\Z$.

Mais je vois mal en quel sens $\Z/3\Z$ serait isomorphe à $\Z/3\Z \times \Z/3\Z$.

Ou alors $\Z/3\Z$ est trivial ?

GreginGre · May 2008

eeeeh non, barbant raseur !!!

$(e)$ sera un anneau qui n'est pas un sous-anneau. Un idempotent ne vérifie pas $e^2=1$, mais $e^2=e$.

l'unité de $(e)$ en fait ici est $e$. (vérification facile)

le barbant raseur · May 2008

Il y a décidément cette règle absolue : je ne devrais jamais poster après minuit. Les carrosses se transforment en citrouilles et mes neurones en bulles de savon ::o :-(

Marouane · May 2008

Merci Barbant raseur ..
en prenons $x,y \in (e)$ on a $x+y = ae + be = (a+b)e \in (e)$ alors $(e)$ est stable pour l'addition $0e = 0 \in (e)$ et puis pour la multiplication on a $xy = aebe = abe^2 = (ab)e \in (e)$

AD · May 2008

Bonsoir Marouanne

Tu as bien $e\in A$, mais tu ne sais pas si $e^{-1}$ existe, et en général il n'existe pas.
Mais ce n'est pas grave car on ne te demande pas de montrer que l'unité $1_A \in A$ est dans $(e)$, on te demande seulement de trouver un élément $1_{(e)} \in (e)$ qui sera unité pour $(e)$ càd $\forall x\in (e),\ x.1_{(e)} = 1_{(e)}.x= x$.

Alain

Marouane · May 2008

Bon alors ça sera $1_{(e)} = e$ puisque $xe = ae^2 = ae = x$

AD · May 2008

Bonsoir Marouanne

Bien voilà le 1) bouclé

Pour le 2), il faut montrer que si $e$ est idempotent, alors $1-e$ est aussi idempotent ...

Alain

Marouane · May 2008

Bonsoir
je l'ai déjà montrer dans une question anterieure ..
$(1-e)^2 = 1 -2e +e^2 = 1-2e +e = 1-e$ alors $(1-e)$ est idempotent ..

AD · May 2008

Re-bonsoir Marouanne

Alors $(1-e)$ est aussi un anneau, on peut donc définir l'anneau produit $(e)\times (1-e)$ (quels en sont les lois $+$ et $*$, quel en est le neutre de $+$ et de $*$ ... voir le cours).
Il ne te reste plus qu'à trouver un isomorphisme d'anneaux entre $A$ et $(e)\times (1-e)$.

Alain

Marouane · May 2008

Bonjour,
soit $(x,y),(z,t) \in (e) \times (1-e)$ on définit l'addition comme suit $(x,y)+(z,t) = (x+z,y+t)$ et la multiplication $(x,y)*(z,t) = (x*z,y*t)$ le morphisme $f$ que j'ai pu trouver 'trivial' c'est celui qui à chaque $a \in A$ fait correspondre $(x,y)$ tel que $x = ae$ et $y = a(1-e)$ il est surjectif par définition de l'ensemble $(e) \times (1-e)$ on a si $f(a) = (0,0)$ alors $ae = 0$ et $a(1-e) = 0$ soit $a=0$ alors $ker(f) = \{0\}$ d'où $f$ est bijectif, alors $f$ est un isomorphisme de $A$ vers $(e) \times (1-e)$
j'espère ne pas dire trop d'erreurs.

AD · May 2008

Bonjour Marouanne

Tu définis $f:A\rightarrow (e)\times (1-e)$ par $f(a)=\big(ae,a(1-e)\big)$
Alors tu écris :
... il ($f$) est surjectif par définition de l'ensemble $ (e) \times (1-e)$
Je ne comprends pas ton argument, parce que à voir comme ça, les éléments de l'image auront le même $a$ dans les 2 composantes, qui sera un antécédent de $\big(xe,y(1-e)\big)$ ?
Bon d'accord, $xe+y(1-e)$ est un antécédent qui convient, mais il faut vérifier que ça marche.
Bref il faut expliciter un peu plus ! Non ?

Alain

Marouane · May 2008

Oui je n'ai pas fait attention à ça, donc prenons un élément $(xe,y(1-e)) \in (e) \times (1-e)$, on a :
\begin{align*}
f(a) = (xe,y(1-e)) &\Leftrightarrow ae = xe\ \mathrm{et} \ a(1-e) = y(1-e) \\
&\Leftrightarrow ae = xe\ \mathrm{et} \ a - ae = y(1-e) \\
&\Leftrightarrow a - xe = y(1-e) \\
&\Leftrightarrow a = xe + y(1-e)
\end{align*}
alors $xe + y(1-e)$ est un antécédent de $(xe,y(1-e)),\ \forall x,y \in A$
Est-ce que c'est correct ?
Merci.