équation matricielle
Bonjour,
Je lutte depuis quelques heures sur la résolution du problème mathématique suivant.
On a une matrice C (2*2) de constantes entières données et une matrice 2*2 qu'on appelle M
Si l'on pose le système, on a
2(a²+bc) + 5a + C1 = 0
2(ab+bd) + 5b + C2 = 0
2(ac+dc) + 5c + C3 = 0
2(d²+bc) + 5d + C4 = 0
Je n'ai aucune idée de la méthode de résolution à adopter, je tourne en rond depuis quelques temps.
En vous remerciant de l'aide que vous pourrez m'apporter.
Anthony
Je lutte depuis quelques heures sur la résolution du problème mathématique suivant.
On a une matrice C (2*2) de constantes entières données et une matrice 2*2 qu'on appelle M
C = [ C1 C2 ] ; M = [ a b ] [ C3 C4 ] [ c d ]Il faut résoudre l'équation matricielle suivante : 2M² + 5M + C = 0. (trouver les coefficients de la matrice M (a,b,c,d)
Si l'on pose le système, on a
2(a²+bc) + 5a + C1 = 0
2(ab+bd) + 5b + C2 = 0
2(ac+dc) + 5c + C3 = 0
2(d²+bc) + 5d + C4 = 0
Je n'ai aucune idée de la méthode de résolution à adopter, je tourne en rond depuis quelques temps.
En vous remerciant de l'aide que vous pourrez m'apporter.
Anthony
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Réponses
Tu as $M^2 = \mathrm{tr}(M)M - \det(M).I_2$, donc $M$ est solution de l'équation proposée si, et seulement si :
$$(2\mathrm{tr}(M)+5)M - 2\det(M).I_2 + C = 0.$$
On peut résoudre cette équation en cherchant
– les solutions de trace $-\dfrac{5}{2}$ ;
– les autres solutions, qui sont combinaison linéaire de $C$ et $I_2$..
Je pensais aussi à utiliser la relation de Hamilton.
Cependant, je ne comprends pas pourquoi on peut résoudre cette équation en cherchant
– les solutions de trace ;
– les autres solutions, qui sont combinaisons linéaires de et ..
Encore merci
[Hamilton (1805-1865) mérite bien une majuscule. AD]
Je distingue donc deux cas suivant que cette dépendance linéaire provient de ce que $M$ est élément de $\mathrm{Vect}(I_2,C)$, ou non.
dans le cas général de C quelconque la résolution est lourde et difficile
si on suppose la matrice C singulière de valeurs propres 0 et r alors C² = r.C
cherchons les solutions particulières en M du type affine M = a.C + b.I
l'équation matricielle initiale devient:
C.[2a²r + 4ab + 5a + 1] + b(2b + 5).I = 0
1er cas: b = -5/2 alors 2a²r - 5a + 1 = 0 et donc a = [-5 +ou-rac(25-8r)]/4r
alors M = [-5 +ou-rac(25-8r)]/4r
(si r > 25/8 alors M est à coefficients complexes)
2ème cas: b=-5/2 alors 2a²r - 5a + 1 = 0 et donc a = [5 +ou-rac(25-8r)]/4r
alors M = C.[5 +ou-rac(25-8r)]/4r - (5/2).I
(si r > 25/8 alors M est à coefficients complexes)
l'équation matricielle du second degré en M admet 4 racines réelles ou complexes distinctes combinaison linéaire de C et I
mais l'équation admet éventuellement d'autres solutions réelles ou complexes
cordialement
C1 : 1219698867
C2 : 2655105218
C3 : 2358244290
C4 : 3043454710