équation matricielle

albertini · May 2008

Bonjour,

Je lutte depuis quelques heures sur la résolution du problème mathématique suivant.

On a une matrice C (2*2) de constantes entières données et une matrice 2*2 qu'on appelle M

C = [ C1 C2 ]  ;  M = [ a b ] 
    [ C3 C4 ]         [ c d ]

Il faut résoudre l'équation matricielle suivante : 2M² + 5M + C = 0. (trouver les coefficients de la matrice M (a,b,c,d)

Si l'on pose le système, on a
2(a²+bc) + 5a + C1 = 0
2(ab+bd) + 5b + C2 = 0
2(ac+dc) + 5c + C3 = 0
2(d²+bc) + 5d + C4 = 0

Je n'ai aucune idée de la méthode de résolution à adopter, je tourne en rond depuis quelques temps.
En vous remerciant de l'aide que vous pourrez m'apporter.
Anthony

gb · May 2008

Le système ne donne, en effet, aucune envie de s'aventurer plus loin dans cette voie.

Tu as $M^2 = \mathrm{tr}(M)M - \det(M).I_2$, donc $M$ est solution de l'équation proposée si, et seulement si :
$$(2\mathrm{tr}(M)+5)M - 2\det(M).I_2 + C = 0.$$
On peut résoudre cette équation en cherchant
– les solutions de trace $-\dfrac{5}{2}$ ;
– les autres solutions, qui sont combinaison linéaire de $C$ et $I_2$..

albertini · May 2008

Merci de votre réponse rapide

Je pensais aussi à utiliser la relation de Hamilton.

Cependant, je ne comprends pas pourquoi on peut résoudre cette équation en cherchant
– les solutions de trace ;
– les autres solutions, qui sont combinaisons linéaires de et ..
Encore merci

[Hamilton (1805-1865) mérite bien une majuscule.

AD]

gb · May 2008

J'ai remplacé l'équation initiale par une autre, qui montre que la famille $(M,I_2,C)$ est liée.
Je distingue donc deux cas suivant que cette dépendance linéaire provient de ce que $M$ est élément de $\mathrm{Vect}(I_2,C)$, ou non.

albertini · May 2008

merci, ensuite, il y a une méthode que je devrais correctement appliquer pour trouver des solutions à ce probleme ou je dois trouver des combinaisons linéaires au pifometre?

gb · May 2008

Lorsque tu cherches les matrices $M$, avec $\mathrm{tr}(M) \neq -\dfrac{5}{2}$, elles sont de la forme $M = aI_2 + bC$, que tu reportes dans l'équation, mais cela fournit un système à deux inconnues, et non plus quatre, qui est donc plus facile à résoudre.

jean lismonde · May 2008

bonjour

dans le cas général de C quelconque la résolution est lourde et difficile

si on suppose la matrice C singulière de valeurs propres 0 et r alors C² = r.C

cherchons les solutions particulières en M du type affine M = a.C + b.I

l'équation matricielle initiale devient:

C.[2a²r + 4ab + 5a + 1] + b(2b + 5).I = 0

1er cas: b = -5/2 alors 2a²r - 5a + 1 = 0 et donc a = [-5 +ou-rac(25-8r)]/4r

alors M = [-5 +ou-rac(25-8r)]/4r
(si r > 25/8 alors M est à coefficients complexes)

2ème cas: b=-5/2 alors 2a²r - 5a + 1 = 0 et donc a = [5 +ou-rac(25-8r)]/4r

alors M = C.[5 +ou-rac(25-8r)]/4r - (5/2).I
(si r > 25/8 alors M est à coefficients complexes)

l'équation matricielle du second degré en M admet 4 racines réelles ou complexes distinctes combinaison linéaire de C et I

mais l'équation admet éventuellement d'autres solutions réelles ou complexes

cordialement