Matrice orthogonale

zorg2 · June 2008

Soit A une matrice orthogonale. Comment prouver que la valeur absolue des coefficients est <= n.

Merci de me donner une indication et pas toute la réponse.

Jean-Yves Degos · June 2008

Je crois même qu'on peut dire que les coefficients sont de valeur absolue inférieure à $\sqrt{n}$, où $n$ est la taille de la matrice orthogonale.

On le montre simplement à partir de la définition, en raisonnant par l'absurde : s'il existe un couple $(i,j)$ avec $\vert\, a_{i,j} \,\vert > \sqrt{n}$, alors le coefficient $c_{i,i}$ du produit $A.A^t$ est strictement supérieur à $1$, contradiction...

JYD

Bruno · June 2008

Bonjour à tous deux.

Qu'appelez-vous "matrice orthogonale" ?

Bruno

aviva · June 2008

J'aurais dit que, puisque les coefficients sont réels, ils sont de va <= 1 (sinon difficile de faire 1 avec une somme de nombre positifs dont l'un est > 1).

Jean-Yves Degos · June 2008

Dans ce cas précis, pour moi c'est une matrice carré à coefficients réels (*) inversible dont l'inverse est égale à la transposée : c'est pas ça ?

JYD

(*) en effet la question suppose implicitement l'existence d'une valeur absolue non triviale sur le corps de base, donc même si l'égalité $A.A^t = Id$ peut avoir un sens un corps fini par exemple, montrer que les coefficients sont bornés n'a plus aucun sens.

Bruno · June 2008

Reprenons : pour J-Y. Degos, une matrice orthogonale est la matrice d'un automorphisme orthogonal de $\R^n$ : une matrice inversible dont l'inverse est la transposée, c'est tout à fait caractéristique.

Bonjour aviva, ça fait longtemps que je ne t'avais pas vu

.

Maintenant, puisque les coefficients sont des cosinus, ils sont tous, en valeur absolue inférieurs à $1$.

Bruno

zorg2 · June 2008

En fait je me suis trompé dans l'énoncé. La valeur absolue de la somme des coefficients d'une matrice orthogonale est <= n.

A est une matrice réelle orthogonale i.e transposée(A)A=I_n

gb · June 2008

Indication : la somme des éléments de la matrice $A$ ets $X^T.AX$ où $X$ est la colonne dont tous les éléments valent 1.

zorg2 · June 2008

Je me réponds à moi-même. Je demandais il y a peu de montrer que si A=(a_{i,j}) est une matrice orthogonale réelle d'ordre n alors valeurs absolues de la somme des a_{i,j} <= n

Soit u le vecteur colonne (1,..,1). Comme A conserve la norme, ||A.u||=||u||=sqrt(n).

Cauchy-Schwartz donne |(A.u|u)| <= ||A.u|||v|| = sqrt(n) sqrt(n) = n

Or |(A.u|u)| est précisément la valeur absolue de la somme des a_{i,j}.

(Merci François pour ton aide

)

[Ingratitude ... François est remercié, mais n'a pas répondu, les autres ont répondu mais ne sont pas remerciés

AD]