Résolution de exp(z) = z

On avait regardé la tête de la valeur absolue de $z \mapsto e^z-z$ avec scilab et on avait cru voir un endroit pas loin de zéro. Cela donne une idée de l'endroit du zéro éventuel mais cela ne prouve pas son existence.

Il s'agit juste d'une matrice de scilab représentée graphiquement, ça ne prouve strictement rien.
Philippe est Philippe Malot, le modérateur. On en avait causé sur IRC.

Deux autres vues :

Attention Gaston_Ldéco ! Ne me provoque pas !

Clairement il y a une infinité de solutions. Maintenant, ya plus qu'à le montrer, mais c'est moins rigolo que de faire des dessins...

Bonjour,

ce que donne Maple:

solve({x=exp(x)*cos(y), y=exp(x)*sin(y)}, {x,y});
===> {y = 0, x = -LambertW(1)}, {y = 0, x = -LambertW(-1)}

On retrouve effectivement la fonction de Lambert, mais j'ai dû oublier quelque chose :S )

Amicalement.

C'est ça que tu voulais faire en pstricks, ev ?

Tu affirmes que le module de exp(z) est égal à l'exponentielle du module de z.

En fait, il y a une technique pour résoudre n'importe quelle équation de ce genre (enfin d'approcher des solutions d'autant qu'on veut), c'est "d'exécuter" le théorème de Picard (exécuter une preuve, dans le cas présent, ressemblerait beaucoup à en éliminer les coupures par passage au cas particulier vu qu'on a la fonction, etc)

Je sais qu'il y a une preuve du théorème de Picard dans un livre de Rudin très célèbre et (vue ma mémoire c'est sans garantie), elle ressemble à toutes les preuves holomorphiques habituelles, on "maximise" un nombre réel (un module de je sais plus quoi exactement, un f'(t), t étant fixé et f variant dans un bon ensemble de fonctions annexes et on prouve que toute f qui réalise le maximum convient à tel ou tel truc.

Appliqué ici, le théorème de Picard te dit que tous les complexes z sauf au plus un éventuellement sont tels qu'il exite un complexe x tel que x+z=exp(x)

Bon je crois pas que z=0 soit le "au plus un" concerné, mais sait-on jamais ...

Ah merci remarque, alors en fait le th de representation conforme m'a tellement marqué que j'ai l'impression de l'avoir vu partout

Picard se démontre tout à fait autrement?

Allez, pour moi ça va être l'occasion d'être courageux, rolalala, comme c'est dur, je ne m'en rendais pas compte, d'être courageux. Mais commme j'ai envie de fumer et que j'ai laissé mes clopes dans ma voiture.... hé hé

J'ai essayé de battre des records, alors à coté de chez moi, j'ai acheté la plus grosse valise possible et je l'ai remplie et mise dans mon coffre et dedans, je crois bien que j'ai même mis la version anglaise de Rudin

Bin, depuis un mois que je trimballe tout ça dans un coffre pour rien, (à chaque fois je me dis, "demain, je ...") ça va êter l'occasion d'aller sortir ce livre des 40 degrés en plein soleil qu'il subit

Je posterai un résumé de la preuve que j'y trouve (si je peux la disséquer, rien n'est moins sûr)

bonjour

l'équation $z = exp(z)$ peut s'écrire aussi $z = ln(z)$

les solutions éventuelles correspondent aux points (imaginaires) d'intersection des courbes exponentielle et logarithmique
ces points d'intersection sont forcément situés sur la première bissectrice dans le plan $R²$

je propose une solution $z = 0,31813151.....+ i(1,3372357.....)$
c'est donc un nombre complexe qui est égal à sa propre exponentielle et à son propre logarithme népérien
nous verrons que le conjugué de $z$ est aussi solution ce qui était conjecturé par les intervenants précédents

démonstration: posons $z = a + ib$ avec $a$ et $b$ réels
l'équation $z = exp(z)$ donne $a = exp(a).cos(b)$ et $b = exp(a).sin(b)$ soit encore (en privilégiant la variable $b$)

$tan(b) = \frac{b}{a}$ et donc $\frac{sin(b)}{b} = exp(\frac{-b}{tan(b)})$
les deux membres de cette dernière équation sont pairs en $b$ ce qui confirme que si $r$ est solution alors $- r$ l'est aussi

les deux courbes représentatives de $\frac{sin(b)}{b}$ et $exp(\frac{-b}{tanb}$ comportent des points communs situés sur l'axe des abscisses
$b= \pi; 2\pi; 3\pi$ etc. mais dans ce cas la partie réelle $a = \frac{b}{tanb}$ diverge (ce sont des points à l'infini)

nous voyons apparaître un point d'intersection acceptable
d'abscisse $r$ compris entre $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{2}$ et d'ordonnée comprise entre $0$ et $1$

par recherche dichotomique de la solution (comprise entre $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{2}$)
de l'équation $\frac{sin(b)}{b} = exp(\frac{-b}{tanb})$
on trouve $r = 1,3372357....$ (tous les chiffres sont sûrs)
on en déduit la partie réelle de $z$ soit $a = \frac{r}{tan(r)} = 0,31813151.....$

les solutions de $z = exp(z)$ sont bien $0,31813151....+ i(1,3372357....)$ et son conjugué

cordialement

bonjour ev

tu as raison: l'expression est maladroite
à partir du moment où on raisonne avec z complexe
autant pour moi

amitiés

Bonne nuit,

Le "gang de l'abstraction avant" ?
(Nicolas de Staël)

Bien cordialement.