Sous-groupe de Z/nZ
Bonsoir tout le monde,
Etant donnés deux entiers positifs $m$ et $n$, je cherche à déterminer l'ordre du sous-groupe $H$ de $\Z/n\Z$ formé par les élément $x$ de $\Z/n\Z$ tel que $mx=0$.
Je connais les sous-groupes de $\Z/n\Z$, ce sont les $d\Z/n\Z$ avec $d$ divisant $n$. Aussi, j'ai déjà montré que le sous-groupe de $\Z/n\Z$ engendré par un élément $m$ de $\Z/n\Z$ est $dZ/n\Z$ avec $d$ le pgcd de $m$ et $n$.
On me conseille de montrer que $mx=0$ est équivalent à $pgcd(m;n)x=0$. Un sens est évident, l'autre je n'y arrive pas !
Quand bien même ce fait accompli, je n'arrive pas en déduire que $H$ est engendré par un élément afin d'appliquer le résultat précédent.
Merci d'avance à toutes celles et ceux qui pourront m'aider.
Etant donnés deux entiers positifs $m$ et $n$, je cherche à déterminer l'ordre du sous-groupe $H$ de $\Z/n\Z$ formé par les élément $x$ de $\Z/n\Z$ tel que $mx=0$.
Je connais les sous-groupes de $\Z/n\Z$, ce sont les $d\Z/n\Z$ avec $d$ divisant $n$. Aussi, j'ai déjà montré que le sous-groupe de $\Z/n\Z$ engendré par un élément $m$ de $\Z/n\Z$ est $dZ/n\Z$ avec $d$ le pgcd de $m$ et $n$.
On me conseille de montrer que $mx=0$ est équivalent à $pgcd(m;n)x=0$. Un sens est évident, l'autre je n'y arrive pas !
Quand bien même ce fait accompli, je n'arrive pas en déduire que $H$ est engendré par un élément afin d'appliquer le résultat précédent.
Merci d'avance à toutes celles et ceux qui pourront m'aider.
Réponses
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Utilises $ppcm(a,b).pgcd(a,b)=ab$
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Merci Geo mais j'ai une difficulté avant d'avoir recours à cette formule je crois bien.
J'ai recherché un peu et voici ce que j'ai trouvé:
Pour montrer que $mCl(x)=0$ est équivalent à $pgcd(m;n)Cl(x)=0$:
Sens réciproque: Evident car si $n$ divise $pgcd(m;n)x$, $n$ divise aussi $mx$.
Sens direct: Supposons $mCl(x)=0$. Alors il existe un entier $q$ tel que $mx=nq$.
Soit $d = pgcd(m;n)$, on a $m=dm'$ et $n=dn'$ avec $m'$ et $n'$ premiers entre eux.
Donc, de l'égalité précédente, on en déduit que $n'$ divise $m'x$. $n'$ et $m'$ étant premiers entre eux, nécessairement $n'$ divise $x$. Ainsi, il existe $q' \in \Z$ tel que $x=n'q'$, d'où (en multipliant par $d$) $dx=nq'$ et donc la classe $dCl(x)=Cl(0)$ .
Maintenant,
$Cl(x) \in H$ équivalent à $n$ divise $dx$ équivalent à "Il existe $k \in \Z$ tel que $dx=kn$" équivalent à $Cl(x)=k Cl(\frac{n}{d})$
Donc $H = <\{Cl(\frac{n}{d})\}>$
D'où $H$ isomorphe à $pgcd(\frac{n}{d};n)\Z / n\Z$ isomorphe à $\Z / d\Z$ avec $d$ le $pgcd$ de $\frac{n}{d}$ et $n$.
Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance ! -
Quand tu obtiens que $n'$ divise $m'x$ avec $n'$ et $m'$ premiers entre eux, on en déduit que $n'$ divise $x$ non ? C'est quoi ce $k$ ?
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Oui c'est ce que je disais je crois.
On en déduit donc que $m'x=qn'$ puis $n'|x$. Donc $x=n'q'$ et alors en multiplant par $d=pgcd(m,n)$ on obtient $dx = nq'= 0$ dans l'anneau considéré.
Donc on a bien $dx=0$.
Ca te semble ok ? -
Et si $dx=0$ alors $mx=0$.
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Le $k$ qui apparaît dans le corps de ton texte est en fait $x$ je crois...
Confirme nous tout ça quand tu reviens. -
Oui oui ! Le $k$ est en fait un $x$ (j'ai modifié le message maintenant). A force de chercher au brouillon, on change les lettres et on s'y perd !
Donc le reste te paraît bon Zantac ? Je me suis relu et ça m'a l'air correct.
Encore merci pour ton attention. -
Une fois que tu as $d Cl(x) = Cl(0)$ pour moi c'est fini... Qu'y a-t-il encore à démontrer ? C'est ce qu'on voulait, non ?
-
Non non Zantac, relis bien mon premier post, j'avais encore un souci après ...
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Bonjour!
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