Sous-groupe de Z/nZ

kifton · September 2008

Bonsoir tout le monde,

Etant donnés deux entiers positifs $m$ et $n$, je cherche à déterminer l'ordre du sous-groupe $H$ de $\Z/n\Z$ formé par les élément $x$ de $\Z/n\Z$ tel que $mx=0$.

Je connais les sous-groupes de $\Z/n\Z$, ce sont les $d\Z/n\Z$ avec $d$ divisant $n$. Aussi, j'ai déjà montré que le sous-groupe de $\Z/n\Z$ engendré par un élément $m$ de $\Z/n\Z$ est $dZ/n\Z$ avec $d$ le pgcd de $m$ et $n$.

On me conseille de montrer que $mx=0$ est équivalent à $pgcd(m;n)x=0$. Un sens est évident, l'autre je n'y arrive pas !

Quand bien même ce fait accompli, je n'arrive pas en déduire que $H$ est engendré par un élément afin d'appliquer le résultat précédent.

Merci d'avance à toutes celles et ceux qui pourront m'aider.

geo · September 2008

Utilises $ppcm(a,b).pgcd(a,b)=ab$

kifton · September 2008

Merci Geo mais j'ai une difficulté avant d'avoir recours à cette formule je crois bien.

J'ai recherché un peu et voici ce que j'ai trouvé:

Pour montrer que $mCl(x)=0$ est équivalent à $pgcd(m;n)Cl(x)=0$:

Sens réciproque: Evident car si $n$ divise $pgcd(m;n)x$, $n$ divise aussi $mx$.

Sens direct: Supposons $mCl(x)=0$. Alors il existe un entier $q$ tel que $mx=nq$.

Soit $d = pgcd(m;n)$, on a $m=dm'$ et $n=dn'$ avec $m'$ et $n'$ premiers entre eux.

Donc, de l'égalité précédente, on en déduit que $n'$ divise $m'x$. $n'$ et $m'$ étant premiers entre eux, nécessairement $n'$ divise $x$. Ainsi, il existe $q' \in \Z$ tel que $x=n'q'$, d'où (en multipliant par $d$) $dx=nq'$ et donc la classe $dCl(x)=Cl(0)$ .

Maintenant,

$Cl(x) \in H$ équivalent à $n$ divise $dx$ équivalent à "Il existe $k \in \Z$ tel que $dx=kn$" équivalent à $Cl(x)=k Cl(\frac{n}{d})$

Donc $H = <\{Cl(\frac{n}{d})\}>$

D'où $H$ isomorphe à $pgcd(\frac{n}{d};n)\Z / n\Z$ isomorphe à $\Z / d\Z$ avec $d$ le $pgcd$ de $\frac{n}{d}$ et $n$.

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance !

Zantac · September 2008

Quand tu obtiens que $n'$ divise $m'x$ avec $n'$ et $m'$ premiers entre eux, on en déduit que $n'$ divise $x$ non ? C'est quoi ce $k$ ?

Zantac · September 2008

Oui c'est ce que je disais je crois.

On en déduit donc que $m'x=qn'$ puis $n'|x$. Donc $x=n'q'$ et alors en multiplant par $d=pgcd(m,n)$ on obtient $dx = nq'= 0$ dans l'anneau considéré.

Donc on a bien $dx=0$.

Ca te semble ok ?

Zantac · September 2008

Et si $dx=0$ alors $mx=0$.

Zantac · September 2008

Le $k$ qui apparaît dans le corps de ton texte est en fait $x$ je crois...

Confirme nous tout ça quand tu reviens.

kifton · September 2008

Oui oui ! Le $k$ est en fait un $x$ (j'ai modifié le message maintenant). A force de chercher au brouillon, on change les lettres et on s'y perd !

Donc le reste te paraît bon Zantac ? Je me suis relu et ça m'a l'air correct.

Encore merci pour ton attention.