Groupe abélien et exposant

kifton · September 2008

Bonsoir tout le monde,

En plein groupes abéliens, j'essaye de montrer que $\Z/n\Z$ est d'exposant $n$. (Je rappelle qu'on définit l'exposant d'un groupe $G$ quelconque comme le plus petit entier $m$ non nul tel que $x^m=e_G$ pour tout $x \in G$)

Remarque: On peut aussi voir cet exposant comme le $ppcm$ des ordres des éléments du groupe.

Je dois donc chercher le plus petit $m$ tel que pour toute classe $Cl(k) \in \Z/n\Z$, on ait $mCl(k)=Cl(0)$.

Donc pour toute classe $Cl(k)$, on doit avoir $n$ qui divise $mk$.
Autrement dit, pour tout entier $k \in \{0,\ldots,n-1\}$, $n$ doit diviser $mk$.
Ceci est possible que si $m$ est un multiple de $n$. Donc le plus petit $m$ est en fait $n$.

Qu'en pensez-vous ? ça m'a l'air de tenir la route... enfin j'espère !

D'autre part, j'ai un autre résultat que je pense avoir démontré mais dont je ne suis pas sûr et sur lequel j'aimerais connaître vos avis:

Soit $(A,+)$ un groupe abélien fini d'ordre $n$.
On souhaite montrer l'équivalence entre:

i) $A$ cyclique.
ii) Pour tout diviseur $d$ supérieur ou égal à 1 de $n$, $A$ admet un unique sous-groupe d'ordre $d$.
iii) Pour tout entier $d$ supérieur ou égal à 1, $A$ admet au plus un sous-groupe d'ordre $d$.

Pour i) implique ii):

Si $A$ est cyclique, alors il admet un élément d'ordre $n$. Donc pour tout diviseur $d$ supérieur ou égal à 1, $A$ admet un élément d'ordre $d$. Le sous-groupe engendré par cet élément est d'ordre $d$ et répond à la question. Comme $A$ est cyclique, tout autre sous-groupe d'ordre $d$ sera isomorphe et même égal à celui trouvé là.

Pour ii) implique iii):

Soit $d$ un entier supérieur ou égal à 1. De deux choses l'une, soit $d$ divise $n$ et l'on a un unique sous-groupe d'ordre $d$, celui trouvé auparavant. Soit $d$ ne divise pas $n$ et d'après le théorème de Lagrange, il n'existe pas de sous-groupe d'ordre $d$.

Pour iii) implique i):

Soit $m=exposant(A)$. $A$ admet un élément d'ordre $m$ (résultat que j'ai montré avant d'attaquer cette question). Le sous-groupe engendré par cet élément est cyclique d'ordre $m$, appelons-le $H$. Montrons que $H=A$:

$H \subset A$ par définition du sous-groupe. Soit $x \in A$. Je dois montrer que $x \in H$.

Je considère $<\{x\}>$ sous-groupe de $A$ dont l'ordre divise celui de $A$. Mais après je n'arrive pas à conclure ...

Merci d'avance à tous ceux et toutes celles qui prendront le temps de me lire et d'essayer de me comprendre !:)

AD · September 2008

Bonsoir Kifton

{\bf L'exposant de $\Z/n\Z$} : Soit $\exp$ cet exposant.
$\bullet\ $D'abord Lagrange dit que pour tout groupe d'ordre $n$ on a $\exp\leq n$.
$\bullet\ $Ensuite $(Z/n\Z, +)$ est cyclique, engendré par $1$ qui est d'ordre $n$, donc à cause de ce générateur $n \leq \exp$.
Finalement $\exp=n$.

{\bf Pour ton autre question}, il faut que tu précises ce que tu as déjà démontré (cours ou question précédente ou théorème admis).
Ainsi dans ta démo $i\Rightarrow ii$, tu écris :
\begin{quote}
Comme $ A$ est cyclique, tout autre sous-groupe d'ordre $ d$ sera isomorphe et même égal à celui trouvé là.
\end{quote}
D'où sors-tu cette assertion ? L'as-tu déjà démontrée précédemment ? Parce que c'est justement cela qu'il faut montrer dans $i\Rightarrow ii$ !

Pour $iii\Rightarrow i$, ton sous-groupe $ <x>$ est d'ordre un diviseur de $m=\mathrm{exposant}(A)$, donc il a le même ordre qu'un sous-groupe de $H$ (qui lui est d'ordre $m$), donc {\bf c'est le} sous-groupe de $H$ ayant cet ordre (hypothèse $iii$). Finalement $x\in H$.

Alain

kifton · September 2008

Bonjour Alain,

Ok pour l'exposant de $\Z/n\Z$. C'est plus rapide et je n'avais pas pensé à le formuler ainsi ! Mais ce que j'ai écrit te semble-t-il correct ?

Pour la deuxième question, voilà les résultats déjà connus:

Si $A$ est un groupe abélien fini d'ordre $n= \Pi_{i=1}^{s} p_i^{e_i}$ avec les $p_i$ premiers distincts deux à deux et les $e_i$ des entiers naturels. Alors $A$ est isomorphe à un produit $A_1 \times \ldots \times A_s$ où $|A_i| = p_i^{e_i}$.

Si $A$ est un groupe abélien fini d'exposant $m$, alors il admet un élément d'ordre $m$.

Voilà ce que je sais...

Concernant l'implication $iii)$ implique $i)$, c'est maintenant clair et je t'en remercie.