semi-groupes finis

je ne crois pas qu'il puisse exister de semi groupe fini ( a part celui réduit à 0).

Bah y'a pas 36 solutions : notons $1$ le neutre et multiplicativement ta loi.

Soit le bonhomme est infini, soit la suite $(x^n)_n$ est périodique pour tout $x$ (si $x^k=x^l$ avec $k<l$, la régularité implique que $x^{l-k}=1$) et donc tout élément est inversible ($y$ a pour inverse $y^{T-1}$ avec $T$ la période de la suite $(y^n)_n$) : le bonhomme est un groupe.

J'ai sorti l'avatar des grands jours, car le message critique approche (M-31)

vincent a écrit:

l'argument du barbant raseur ou celui-ci marche aussi quand on n'a pas la commutativité...

Pour moi, la régularité c'est : si xy=xz et yx=zx, alors y=z.
Et un semi-groupe est un monoïde régulier. A-t-on la même définition ?

Avec ma définition, je n'ai pas l'impression que, dans le cas non commutatif, on ait nécessairement injectivité de l'application de multiplication par x.

Dans ma preuve, cela ne pose pas de problème, parce que deux puissances quelconques d'un même lascar commutent nécessairement, mais (avec ma définition), je n'ai pas l'impression que ta preuve passe au cas non commutatif.

Je passe à côté de quelque chose d'évident ?

Ou tu utilises une définition plus stricte (avec un ou là où j'ai un et peut-être) ?

euzenius a écrit:

D'ailleurs le barbant raseur sous son avatar angélique poupon avait modifié sa première intervention en indiquant l>k ce qui impliquait la régularité à droite (ou à gauche faute de latéralisation).

Je ne vois pas ce que tu veux dire. J'ai rajouté l>k pour plus de clarté, ma remarque s'entend comme ça :

lbr a écrit:

si x^l=x^k avec k et l distincts, alors l'un des deux est nécessairement plus grand que l'autre : appelons l le plus grand des deux

par suite x^k.x^(l-k)=x^k.1 et x^(l-k).x^k=1.x^k (parce que deux puissances de x commutent nécessairement) donc, par régularité, même en appelant régularité la propriété assez laxiste que je donne dans mon précédent message, on conclut que x^k=1.

Après, je ne sais pas si ma définition de régularité est standard, peut-être que je me fourvoie et que dans la littérature on trouve un ou là où je mets un et (c'est à dire qu'on définit la régularité comme la conjonction de la régularité à gauche et de la régularité à droite, ce qui conduit à une définition moins laxiste de semi-groupe), c'est à dire que je considère être des semi-groupes des monoïdes qui, dans la littérature, n'en sont pas.

Bref : tu ferais mieux de nous donner ta définition au lieu de refaire le match France-Angleterre!

J'ai vraiment le sentiment de me faire très mal comprendre.

Ce que j'essaie d'expliquer c'est que si on note
E1 = (A et implique C
E2 = (A implique C) ou (B implique C)
E3 = (A ou implique C
E3' = (A implique C) et (B implique C)

Alors E3' <=> E3 => E2 => E1
et les implications qui ne sont pas des équivalences sont strictes.


Si maintenant j'ai un monoïde M et je dis

a) que M est euzénius-régulier si
(∀ x,y,z ∈ M, xy=xz => y=z) et (∀ x,y,z ∈ M, yx=zx => y=z)

b) que M est faiblement-régulier si
(∀ x,y,z ∈ M, xy=xz => y=z) ou (∀ x,y,z ∈ M, yx=zx => y=z)

c) que M est wikipedia-regulier si
∀ x,y,z ∈ M, (xy=xz et yx=zx) => y=z

Alors un monoïde euzénius-régulier est un cas particulier de monoïde faiblement-régulier, et un monoïde faiblement-regulier est lui-même un cas particulier de monoïde wikipedia-régulier.

La preuve de vincent marche pour les monoïdes faiblement-réguliers (c'est à dire pour les monoïdes réguliers à droite et aussi pour les monoïdes réguliers à gauche) et ma preuve marche plus généralement pour les monoïdes wikipedia-réguliers.

Donc les deux preuves marchent sur les monoïdes euzénius-réguliers (c'est à dire les "vrais" semi-groupes), c'est ce qui t'intéresse et j'ai bien compris que tu ne veux pas épiloguer. Mais ce que je veux dire, c'est que les deux marchent pour des structures plus laxistes, et en particulier la mienne pour la structure proposée par wikipedia comme définition de semi-groupe, qui est de très loin la plus laxiste (et on est bien d'accord pour dire que c'est une "mauvaise" définition de semi-groupe).


Je t'assure que je ne cherche pas la petite bête aux dieux capricieux. J'ai bien compris que je t'irritais à faire mon lourd et je te prie de bien vouloir m'en excuser, mais je veux vraiment être sûr que mon propos est clair.


Pour repartir dans une direction qui intéressera tout le monde, est-ce que vincent (ou un autre intervenant) pourrait nous donner un exemple de semi-groupe non commutatif, qui n'est pas plongeable dans un groupe ?

J'y arrive (je crois) pour un wikipedia-semi-groupe, mais pas pour un "vrai" semi-groupe.

Merci pour cette seconde confirmation.

J'ai corrigé sur wikipedia.