Idéaux des entiers relatifs

euzenius
euzenius
dans Algèbre
Bonjour,

On sait que pour tout anneau A on peut définir (peut-être faut-il se limiter aux anneaux commutatifs pour simplifier ?) une somme et un produit d'idéaux.

Cet ensemble d'idéaux muni de + et x (ou indépendamment pour chacune de ces opérations) a-t-il une structure algébrique spécifique ? Qu'en est-il pour les idéaux de l'anneau principal des entiers relatifs Z ?

Merci par avance de votre aide.

Euzenius

Réponses

  • Ayoub
    Ayoub
    Salut :)

    Tu parles de l'ensembles des idéaux? Si on définit bien "+" et "*" il me semble qu'il est stable pour ces deux opérations. (La somme de deux idéaux, qui l'ensemble des éléments de A s'écrivant comme somme d'éléments des idéaux, en est un aussi et idem pour le produit).

    Un idéal de Z (et de n'importe quel anneau d'ailleurs) est avant tout un sous-groupe de (Z,+) (resp (A,+)) donc de la forme nZ. Il est très facile de vérifier que ce sont tous des idéaux, je te laisse faire la vérification.

    :)
  • euzenius
    euzenius
    Merci Ayoub pour ces précisions, mais je demande quelle structure algébrique plus spécifique qu'un magma peut-on coller sur l'ensemble des idéaux d'un anneau commutatif avec pour loi la somme de deux idéaux. Il me semble avoir vu quelque part qu'il s'agit d'un monoïde, mais je n'en suis pas sûr.

    Si quelqu'un a le résultat et les références, alors merci.


    Euzenius
  • le barbant raseur
    le barbant raseur
    Pour la structure de monoide commutatif, tous les axiomes résultent directement de la définition, sauf peut-être l'associativité, mais elle résulte du fait que (I+J)+K est engendré par les {i+j+k | i∈I, j∈J, k∈K} que tu peux prouver assez simplement.
  • euzenius
    euzenius
    OK le barbant raseur, et merci

    associativité, élément neutre (l'idéal engendré par 0), commutativité et donc jamais plus (hormis le cas trivial si l'anneau est un corps) ?

    Euzenius
  • Ayoub
    Ayoub
    C'est déjà pas mal non? Fallait pas s'attendre à tomber sur un anneau non plus. :D

    :)
  • le barbant raseur
    le barbant raseur
    euzenius a écrit:
    associativité, élément neutre (l'idéal engendré par 0), commutativité et donc jamais plus (hormis le cas trivial si l'anneau est un corps) ?

    Cette question me laisse perplexe.

    Qu'a-t-on de "plus" si l'anneau est un corps ?
    Pour la seule loi +, je ne vois pas.

    Si tu veux parler du fait que (idéaux(A),+,x) forme un semi-anneau, c'est vrai pour n'importe quel anneau A.

    Tu fais peut-être allusion à une structure booléenne ?
  • KHCTX
    KHCTX
    A mon avis il fait surtout référence au fait que le idéaux d'un corps forment un ensemble assez simple.
  • euzenius
    euzenius
    Bonsoir,

    KHCTX a parfaitement saisi le point entre parenthèses, la simplicité de ce cas n'ayant aucun intérêt au regard de la question qui était posée concernant la structure annélide de l'ensemble des idéaux sur un anneau, donc de propriétés particulières des lois en lien avec des propriétés particulières de l'anneau de base (principalité,... voire le cas de Z). Les particularités sortent du domaine structurel si l'on peut dire, et je me contente parfaitement de la noton de semi-anneau.

    Merci à vous tous.

    Euzenius
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