End(E) isomorphe à E (x) E'

Cauchy07
Cauchy07
dans Algèbre
Bonjour à tous,

Je me permets de créer un sujet sur le forum car j'ai d'énormes difficultés à résoudre un exercice. Voilà, je dois montrer que End(E) est isomorphe au produit tensoriel entre E et le dual de E, sachant que E est un espace vectoriel de dimension finie. De plus, je dois montrer que cet isomorphisme ne dépend pas de la base choisie.

Mon idée était de considérer une base de (E produit tensoriel dual de E) et ensuite de trouver un morphisme bijectif entre (E produit tensoriel dual de E) et End(E). De cette façon, j'aurais montré que quelque soit la base choisie, on a l'isomorphisme demandé. Mon problème est que je n'arrive pas à trouver ce morphisme et je commence à douter de ma démarche.

Voilà, j'aimerais beaucoup que quelqu'un m'aide à résoudre cet exercice. Je vous remercie d'avance.
Cordialement

ps: End(E)={ensemble des endomorphismes de E}

Réponses

  • Afk0
    Afk0
    Bonjour,

    si $x\in E$ et $\alpha\in E^\vee$, l'application $y \mapsto \alpha(y)x$ est un endomorphisme de $E$. A toi de vérifier que ceci définit une application canonique $E^\vee \otimes E \to End(E)$ et que c'est un isomorphisme.
  • Remarque0
    Remarque0
    Une autre façon de voir la même chose : si tu choisis une base $(e_i)$ de $E$ de dimension $n$, pour tout $u\in{\cal L}(E)$, tu as
    $$u(v)=\sum_{i=1}^n e^*_i(v)u(e_i),$$
    d'où une application linéaire de ${\cal L}(E)$ dans $E\otimes E^*$, $u\mapsto \sum_{i=1}^n u(e_i)\otimes e^*_i$. Maintenant, convient-elle ?
  • le barbant raseur
    le barbant raseur
    Cauchy07 a écrit:
    End(E)={ensemble des endomorphismes de E}

    Très bien mais qu'est-ce que le produit tensoriel ?

    Plus expliciement : une application linéaire de E⊗E* dans End(E), c'est (en correspondance bijective avec) quoi ?

    Est-ce qu'on en voit une qui serait assez facile à définir ? Est-ce qu'elle ne serait pas injective ? Est-ce que ça n'impliquerait pas que c'est un isomorphisme en raison d'un certain argument ?


    PS : grillé, archigrillé, mais tant pis. Je brade mes derniers messages.
  • jobherzt
    jobherzt
    En fait l'idée est la suivante : Il faut se souvenir que $E^*$ est l'ensemble des formes linéaires sur $E$, cad qu'un élément de $E^*$ est une application lineaire de $E$ dans le corps de base $k$.

    Donc en gros, l'idée est que tu vas construire un endomorphisme de $E$ en "piochant" dans $E^*$ pour avoir une application, et dans $E$ pour avoir des vecteurs, et donc pour que ton application soit à valeur dans $E$.

    Plus precisement, des que tu as un élément $\sum_i \alpha_i e_i \otimes e^i \in E \otimes E^*$, tu peux lui associer l'application
    $$
    x\mapsto \sum_i \alpha_i e^i(x) \times e_i
    $$

    Reste à montrer que tous les endomorphismes peuvent etre obtenus de cette manière.

    [oula, faudra que je pense à actualiser avant de repondre: ) ]
  • Cauchy07
    Cauchy07
    Voilà, grâce à vos réponses, j'ai pu finir mon exercice. Encore merci et bonne continuation.
  • lewiner
    lewiner
    Cauchy07 a écrit:
    De plus, je dois montrer que cet isomorphisme ne dépend pas de la base choisie.

    Pourquoi CET isomorphisme ? N'y en aurait-il qu'un ? Tu veux dire : construire UN isomorphisme qui soit DE PLUS indépendant des bases choisies, càd intrinsèque ; n'est-il pas ?

    Cordialement, Lewiner
  • Afk0
    Afk0
    L'isomorphisme $\varphi_E: E\otimes E^\vee \to \underline{End}(E)$ est bien unique si on impose qu'il soit fonctoriel en $E$: pour tout morphisme $f:E\to F$, on veut $\varphi_F \circ (f\otimes f\vee) = (f\otimes f\vee) \circ \varphi_E$.

    Plus généralement, on a un isomorphisme fonctoriel
    $$
    F\otimes E^\vee \simeq \underline{Hom}(E,F)
    $$

    Si on n'impose la fonctorialité la question se réduit à démontrer que $F\otimes E^\vee$ et $\underline{Hom}(E,F)$ ont même dimension.
  • Afk0
    Afk0
    J'ai raconté n'importe quoi dans mon post précédent.

    De manière générale, on a un isomorphisme
    $$
    \varphi_{E,F} : F\otimes E^\vee \simeq \underline{Hom}(E,F)
    $$

    Cet isomorphisme est unique si on impose qu'il soit fonctoriel.

    La condition de fonctorialité signifie que pour tout $e: E'\to E$ et $f:F\to F'$ et tout $g: E \to F$
    $$
    f\varphi_{E,F}(g)e = \varphi_{E',F'}(fge) (f\otimes e^\vee).
    $$

    Si on n'impose la fonctorialité la question se réduit à démontrer que $F\otimes E^\vee$ et $\underline{Hom}(E,F)$ ont même dimension.
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