Théorème de Cayley-Hamilton

Bonjour,

C'est effectivement une "erreur de bon sens", et je trouve ça tout à fait encourageant que tu aies eu cette idée. Maintenant, pourquoi ça ne marche pas comme ça : qu'est ce que la matrice $A-XI_n$? C'est la matrice qui a pour coefficients $X-a_{i,i}$ sur la diagonale, et $-a_{i,j}$ en dehors de la diagonale. Que se passe-t-il si tu fais $X=A$ dans cette matrice? Tu ne trouves pas $A-A$, mais la matrice qui a les coefficients $A-a_{i,i}$ sur la diagonale; et là on est bien embêté pour savoir quel sens donner à ce truc.

Cordialement.

[mieux comme ça]

En fait dans la matrice caractéristique de $A$, vous remplacez $X$ par $A$ ; vous obtenez donc une matrice à coefficients dans l'anneau commutatif $K[A]$, $K$ désignant le corps sur lequel vous travaillez. On a donc en prenant le déterminant de cette matrice
$\det( \hbox{Diag}(A,\cdots,A) - A) = A^n + \cdots$,
le second membre est donc une matrice carrée ! ... comme l'indique jpd ci-dessus.

$\hbox{Diag}(A,\cdots,A)$ désigne ici une matrice diagonale d'ordre n donc tous les coefficients diagonaux sont égaux à $A$...

[rectifié pour plus de clarté suivant les remarques de Ga? ci-dessous]

Si on acceptait de remplacer $X$ par une matrice dans det$XI-A$, on aurait même la possibilité d'établir des résultats faux : en effet, on pourrait remplacer $X$ par $^tA$ et on aurait donc det$^tA-A=\chi_A(^tA)$. Mais ce dernier terme est aussi la transposée de $\chi_A(A)$, càd $0$. Ainsi, le déterminant de {\bf toute} matrice antisymétrique serait nul.

\'Etonnant, non ?

Pour répondre UNIQUEMENT à ta question

Pourquoi "$P=\det(A-XI)$ donc, $P(A)=\det(A-A)=0$" est un raisonnement non convaincant?

L'expression det(A-XI) est un abus de langage qui signifie:

Déterminant de la matrice A-XI sur l'anneau K[X], K étant le corps de base. Le coefficient$_{(i,j)}$ de cette matrice est $a_{(i,j)}$ si $i\neq j$ et $a_{(i,j)}-X$ si $i=j$. En notant $a_{(i,j)}$ le coefficient$_{(i,j)}$ de A.

Appelons P cet élément de K[X] (qui est un polynôme)

Si tu veux pousser mémé dans les orties, tu peux toujours remplacer l'indéterminée X par la matrice A et considérer que tu te places, non plus dans K[X], mais dans le sous-anneau de l'anneau des app.lin muni de + et de rond (qui à 2 matrices B,C associe BoC) (le 1er est commutatif, mais pas le deuxième)

Why not. Tu obtiens alors "P(A)" qui est une matrice.

l'expression det(A-A) n'est pas un abus de langage et désigne det(0) en notant "0" la matrice de mêmes dimensions que A dont tous les coefficients sont 0.

La faiblesse de ton raisonnement est donc d'affirmer que P(A)=det(A-A)

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Sémantiquement parlant, si tu préfères, il est peut-être bon pour toi que tu médites ce qui suit:

Soit dt une application de mat(K[X]) dans K[X] {\bf quelconque}

Posons P(X):=dt(A-XI)

Peux-tu prouver que P(A)=dt(A-A)=dt(la matrice 0), avec le même raisonnement?

(note que dt(A-A) a un sens car A-A est une matrice à coefficient dans K[X])


si oui tu pourras attacher un superthéorème généralisant Cayley Hamilton à ton nom..