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Réduction de Jordan !

Envoyé par lol 
lol
Réduction de Jordan !
il y a cinq années
Bonjour à tous et à toutes
J'ai beaucoup de mal à comprendre la réduction de Jordan. Enfin la méthode.
Mettons que j'ai une matrice A carrée de dimension 3, avec un polynôme caractéristique avec deux valeurs propres a1, a2, a1 de multiplicité 2 et a2 de multiplicité 1. Comment faire pour trouver ma base de Jordan ainsi que la forme réduite de Jordan ?
Merci beaucoup !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par AD.
Re: Réduction de Jordan !
il y a cinq années
avatar
En attendant une réponse plus complète et peut-être des précisions sur ton interrogation :

~

a2 est de multiplicité 1 : l'espace propre associé à a2 est donc une droite. Notons v3 un vecteur propre associé à la valeur propre a2.

Regardons maintenant a1 qui est de multiplicité 2 : l'espace propre associé à a1 est donc soit une droite soit un plan.

Supposons que cet espace propre soit un plan. On est alors dans le cas où la matrice est diagonalisable et je pense que tu sais faire. On se choisit une base {v1,v2} de cet espace propre (il suffit de prendre deux vecteurs propres associés à a1 linéairement indépendants) et on a gagné : {v1,v2,v3} forme une base de l'espace ambiant qui diagonalise (donc jordanise) A.

Maintenant, le cas qui t'intéresse est celui où cet espace propre est une droite, car on n'est plus dans le cas facile d'une bête diagonalisation. A un scalaire multiplicatif près, il n'y a qu'un seul vecteur propre associée à a1, appelons-le v1. Ce qu'il nous faut maintenant, c'est compléter {v3,v1} en une base {v3,v1,v2} de l'espace ambiant de telle sorte que A(v2) = a1.v2 + v1. Mais on connait désormais v1 ! Plus qu'à résoudre un petit système, trop facile.

~

Moins facile est plus intéressant est le cas où on a une seule valeur propre a dont l'espace propre associé est une droite. Cette fois, on trouve un seul vecteur propre v1, et il faut compléter {v1} en une base {v1,v2,v3} telle que A(v2) = a.v2 + v1 puis A(v3) = a.v3+v2, ce qui est moins évident.

La matrice
0  0  1
1  0 -3
0  1  3
me semble un bon exemple pour se faire la main...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par AD.
lol
Re: Réduction de Jordan !
il y a cinq années
Bonsoir,
Mais dans ce cas là on peut "sentir" la matrice de Jordan, comment trouver cette base ? Par exemple si on a un polynôme minimal qui vaut p(x)=(2-x)^3, alors on aura une diagonale de 2 et des 1 au dessus et des zéros partout mais pour la base comment fait-on ? Suffit-il juste de prendre un vecteur a tel que v^3(a)=0 et v²(a) différent de 0 ? Cela suffit-il ? Comment faire si on trouve qu'un seul vecteur pour une valeur de multiplicité 3 ?
Merci.

[Jordan mérite quand même une majuscule ! AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par AD.
Re: Réduction de Jordan !
il y a cinq années
La réponse est oui, cela suffit, à condition de prendre ce qu'il faut pour $v$ et de faire ce qu'il faut avec $a$...
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