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Fonction à plusieurs variables [L2]

Envoyé par Olivski 
Fonction à plusieurs variables [L2]
il y a cinq années
Bonjour à Tous,

Voici un petit exercice sur les Fonction à plusieurs variables, où je bloque à la dernière question.....

Enoncé : Soit l'ouvert $ U=] 0, +\infty [\,\times\, ]0,2\pi[\,\times\,\R $ de $\R^3$ et le demi-plan fermé $P$ de $\R^3$ défini par $y=0$ et $x \geq 0 $
question 1 : Montrer que l'application $(p,O,z) \to (p\cos(O), p\sin(O), z) $ définie, par restriction à $U$, une bijection $f :U\rightarrow \R^3\setminus P$.
question 2 : Ecrire la matrice Jacobienne de $f$ en un point.
question 3 : Vérifier que $ \Big( \dfrac {\partial f} {\partial p}(u),\ \dfrac {\partial f} {\partial O}(u), \ \dfrac {\partial f} {\partial z}(u) \Big) $, pour $u \in U $, est une base orthogonale directe de $\R^3$

==> Voici l'énoncé... et je bloque à la 3ième question car je ne suis pas sûre de ce que j'ai le droit de faire ou non...
En effet, pour montrer que j'ai une base directe je pense qu'il faut montrer que $ \det \Big( \dfrac {\partial f} {\partial p}(u),\dfrac {\partial f} {\partial O}(u), \dfrac {\partial f} {\partial z}(u) \Big) $ est strictement positif...
Mais est-ce qu'il faut d'abord montrer que ma base est orthogonale ? Et pour montrer que la base est orthogonale... Faut-il utiliser le produit scalaire ? Si oui, lequel ? Sinon, comment faut-il procéder ? :(

En vous remerciant :)
Re: Fonction à plusieurs variables [L2]
il y a cinq années
avatar
Salut,

Mon petit doigt me dit que $(p,O)$ sont d'habiles substituts pour $(\rho,\theta)$.. me trompé-je ? Les codes LaTeX sont \verb|\rho| et \verb|\theta|. Le "backslash" ou contre-oblique s'obtient à l'aide la commande \verb|\backslash| : $\backslash$, la différence ensembliste avec \verb|\setminus| : $\setminus$.

Bref, ta question n'a en fait rien à voir avec les fonctions à plusieurs variables, c'est une question sur les espaces euclidiens : étant donnée une base d'un espace euclidien orienté, comment vérifier qu'elle est orthonormale directe ? Ici il est sous-entendu l'espace euclidien est $\R^3$ muni de son produit scalaire et de son orientation canoniques. Tu as donné tous les éléments de réponses qu'il te faut : on vérifie (i) que la base est directe (ii) qu'elle est orthonormale.
ev
Re: Fonction à plusieurs variables [L2]
il y a cinq années
avatar
Ou alors tu démontres que les deux premiers vecteurs sont orthogonaux et que le 3ème est égal au produit vectoriel des deux premiers (à un facteur positif $\rho$ près).

e.v.
Re: Fonction à plusieurs variables [L2]
il y a cinq années
Merci egoroff (ton petit doigt ne te trompait passpinning smiley sticking its tongue out), ev et AD,
Mon problème venait du fait que je m'était trompé en utilisant le produit scalaire canonique (bouuuuuhh... je sais eye popping smiley ).
Sinon, je me posais une autre petite question à propos de cet exercice : A la première question, lorsque l'on nous demande de vérifier que f est bijective... Quel est le but de cette question ? Est-ce une question gratuite ou a-t-elle un intérêt dans la suite de l'exercice (au quel cas je ne m'en serais pas aperçu) ?

Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par AD.
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