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Equation de matrices ...

Envoyé par Clairon 
Equation de matrices ...
il y a cinq années
Bonjour,
J'aimerais avoir votre avis sur une proposition de réponse à la question :
Quelles sont les matrices $A \in \mathcal M_2(\mathbb R)$ telles que $A^2-3A+2I_n=0$ ?

J'ai une première question : est-ce que, lorsqu'on dispose d'un polynôme $P$ de degré $n$ unitaire et d'une matrice $A \in \mathcal M_n(\mathbb K)$ tel que $P(A)=0$, ce polynôme $P$ est le polynôme caractéristique de $A$ (noté $\chi_A$) ??
J'avais envie de dire oui, mais je pense que c'est faux : par exemple, je considère $N$ une matrice nilpotente d'indice $p < n$ dans $\mathcal M_n(\mathbb K)$, alors n'importe quel polynôme $P$ de degré $n$ multiple de $X^p$ annule $N$ et pourtant ce n'est pas nécessairement le polynôme caractéristique de $N$ puisque ce dernier est $X^n$...


Revenons à nos moutons :
je pense qu'en dimension $2$, le résultat précédent est quand-même vrai : en effet, soit $P$ unitaire de degré $2$ annulant $A$ que nous prenons différente d'une matrice scalaire. Alors $P \in \langle \Pi_A \rangle$. Comme $A \neq \lambda I_n$, on a $\Pi_A = \chi_A$ ; d'où $P \in \langle \chi_A \rangle$, i.e. $P$ est multiple de $\chi_A$ et comme ils sont unitaires de même degré, ils sont égaux.
\\
Du coup, les matrices $A \in \mathcal M_2(\mathbb R)$ telles que $A^2-3A+2I_n=0$, sont les $A$ telles que
$\begin{cases}
tr(A)=3 \\
\det A =2
\end{cases}$

Comme on est en dimension $2$ la classe de similitude d'une matrice est déterminée par le polynôme minimal et caractéristique ; ainsi, les $A$ qui conviennent sont semblables à
$D= \left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{array} \right) $\\

En écrivant ce message, je viens de me rendre compte que l'on peut conclure en 2 mots :\\
Le polynôme $X^2-3X+2$ est scindé à racines simples ($1$ et $2$ sont les racines) donc $A$ est diagonalisable donc semblable à $D$.

Mais on peut essayer de durcir la question en cherchant les matrices $A$ de taille $n$ vérifiant $P(A)=0$ : est-ce que ce sont toutes les matrices semblables à une matrice diagonale où sur cette diagonale, on trouve des $1$ et des $2$ (avec au moins un $1$ et un $2$) ??

En fait ma question était là pour essayer de comprendre comment résoudre la question posée par le jury de l'Agreg, mais je m'aperçois qu'elle n'a en fait aucun rapport !
Voilà ce que dit le rapport (du jury) :

Polynôme d'endomorphisme, polynômes annulateurs
Après avoir élaboré et décrit des outils efficaces, le candidat doit pouvoir décrire les matrices vérifiant par exemple
$\begin{cases}
A^3-2A^2-A+2I_n=0 \\
A^3-3A+2I_n=0
\end{cases}$\\

Le jury signale que les polynômes d'endomorphismes ne sont pas tous nuls. Cette leçon ne porte pas uniquement sur la réduction des endomorphismes. Par exemple, le calcul des puissances ou de l'exponentielle d'une matrice peut illustrer cette leçon (sans passer par la décomposition de Dunford). On pourra méditer sur l'exemple suivant en utilisant les projecteurs sur les espaces caractéristiques :
$A^2-3A+2I_n=0 \Rightarrow exp(A)=(e^2-e)A+(2e-e^2)I_n$

Du coup, là je vais vraiment avoir besoin de vos conseils : comment résout-on le système :
$\begin{cases}
A^3-2A^2-A+2I_n=0 \\
A^3-3A+2I_n=0
\end{cases}$\\
et comment trouve-t-on une telle exponentielle sans Dunford ??


Merci pour vos remarques et idées !

Clairon
Re: Equation de matrices ...
il y a cinq années
Bonjour clairon.

L'ensemble des polynômes annulateurs de $A$ est un idéal de l'anneau principal $\mathbb C[X]$.
$A$ annule les deux polynômes $X^3 - 2X^2 - X + 2$ et $X^3 - 3X + 2$, donc il annule leur pgcd...

amicalement,

e.v.
Re: Equation de matrices ...
il y a cinq années
Pour ta première équation matricielle, tu as oublié les matrices $X=I$ et $X=2I$, c’est aussi ce que voulait dire e.v. quand il disait qu’un polynôme d’endomorphisme n’est pas toujours nul.
Re: Equation de matrices ...
il y a cinq années
MERCI !

En effet ... Et du coup, la seule solution c'est $I_n$ !!!

Et pour ce qui concerne l'exponentielle, je vois que $A$ est diagonalisable puisque $X^2-3X+2$ annule $A$ qui est scindé à racines simples.
Et je vois bien que la relation fournie pour $\exp(A)$ convient mais
1) Il faut avoir la réponse pour dire, ça convient ...
2) Je n'ai pas utilisé les projecteurs ...

[La case LaTeX. :) AD]
Re: Equation de matrices ...
il y a cinq années
Merci Nicolas pour cette précision.


Le résultat suivant est faux (cf premier post) :
lorsqu'on dispose d'un polynôme $P$ de degré $n$ unitaire et d'une matrice $A \in \mathcal M_n(\mathbb K)$ tel que $P(A)=0$, ce polynôme $P$ est le polynôme caractéristique de $A$ (noté $\chi_A$) ??
Mais existe-t-il une condition ou des conditions supplémentaires que l'on pourrait rajouter pour que cela devienne juste ?

Par exemple si $P$ est scindé à racines simples, on a $P=\chi_A$.
Si $A$ est semblable à une matrice compagnon, ça marche encore, i.e. $P=\chi_A$.

Avez-vous d'autres cas particuliers comme ça ??
Re: Equation de matrices ...
il y a cinq années
C’est faux, puisque si $A=I$, $\chi_A=X^2-2X+1$ mais $Q=X^2-1$ ou $R=X^2-3X+2$ sont nuls en $A$.
Re: Equation de matrices ...
il y a cinq années
Merci Nicolas mais je savais que c'était faux (cf premier post où j'ai pris l'exemple d'une matrice nilpotente qui est peut-être plus tordu que ton contre-exemple où je suppose d'ailleurs que tu voulais dire $\chi_A = X^2 - 2X+1$ ;)

Mais je voulais savoir si on peut donner des cas particuliers où l'énoncé est vrai !
Re: Equation de matrices ...
il y a cinq années
Ça marche quand le polynôme est irréductible, non ?

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
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