Equation de matrices ...

Bonjour,
J'aimerais avoir votre avis sur une proposition de réponse à la question :
Quelles sont les matrices $A \in \mathcal M_2(\mathbb R)$ telles que $A^2-3A+2I_n=0$ ?

J'ai une première question : est-ce que, lorsqu'on dispose d'un polynôme $P$ de degré $n$ unitaire et d'une matrice $A \in \mathcal M_n(\mathbb K)$ tel que $P(A)=0$, ce polynôme $P$ est le polynôme caractéristique de $A$ (noté $\chi_A$) ??
J'avais envie de dire oui, mais je pense que c'est faux : par exemple, je considère $N$ une matrice nilpotente d'indice $p < n$ dans $\mathcal M_n(\mathbb K)$, alors n'importe quel polynôme $P$ de degré $n$ multiple de $X^p$ annule $N$ et pourtant ce n'est pas nécessairement le polynôme caractéristique de $N$ puisque ce dernier est $X^n$...


Revenons à nos moutons :
je pense qu'en dimension $2$, le résultat précédent est quand-même vrai : en effet, soit $P$ unitaire de degré $2$ annulant $A$ que nous prenons différente d'une matrice scalaire. Alors $P \in \langle \Pi_A \rangle$. Comme $A \neq \lambda I_n$, on a $\Pi_A = \chi_A$ ; d'où $P \in \langle \chi_A \rangle$, i.e. $P$ est multiple de $\chi_A$ et comme ils sont unitaires de même degré, ils sont égaux.
\\
Du coup, les matrices $A \in \mathcal M_2(\mathbb R)$ telles que $A^2-3A+2I_n=0$, sont les $A$ telles que
$\begin{cases}
tr(A)=3 \\
\det A =2
\end{cases}$

Comme on est en dimension $2$ la classe de similitude d'une matrice est déterminée par le polynôme minimal et caractéristique ; ainsi, les $A$ qui conviennent sont semblables à
$D= \left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{array} \right) $\\

En écrivant ce message, je viens de me rendre compte que l'on peut conclure en 2 mots \
Le polynôme $X^2-3X+2$ est scindé à racines simples ($1$ et $2$ sont les racines) donc $A$ est diagonalisable donc semblable à $D$.

Mais on peut essayer de durcir la question en cherchant les matrices $A$ de taille $n$ vérifiant $P(A)=0$ : est-ce que ce sont toutes les matrices semblables à une matrice diagonale où sur cette diagonale, on trouve des $1$ et des $2$ (avec au moins un $1$ et un $2$) ??

En fait ma question était là pour essayer de comprendre comment résoudre la question posée par le jury de l'Agreg, mais je m'aperçois qu'elle n'a en fait aucun rapport !
Voilà ce que dit le rapport (du jury) :

Polynôme d'endomorphisme, polynômes annulateurs
Après avoir élaboré et décrit des outils efficaces, le candidat doit pouvoir décrire les matrices vérifiant par exemple
$\begin{cases}
A^3-2A^2-A+2I_n=0 \\
A^3-3A+2I_n=0
\end{cases}$\\

Le jury signale que les polynômes d'endomorphismes ne sont pas tous nuls. Cette leçon ne porte pas uniquement sur la réduction des endomorphismes. Par exemple, le calcul des puissances ou de l'exponentielle d'une matrice peut illustrer cette leçon (sans passer par la décomposition de Dunford). On pourra méditer sur l'exemple suivant en utilisant les projecteurs sur les espaces caractéristiques :
$A^2-3A+2I_n=0 \Rightarrow exp(A)=(e^2-e)A+(2e-e^2)I_n$

Du coup, là je vais vraiment avoir besoin de vos conseils : comment résout-on le système :
$\begin{cases}
A^3-2A^2-A+2I_n=0 \\
A^3-3A+2I_n=0
\end{cases}$\\
et comment trouve-t-on une telle exponentielle sans Dunford ??


Merci pour vos remarques et idées !

Clairon