Représentations d'algèbres

A priori le produit tensoriel de deux $A$-modules n'est pas un $A$-module. C'est un juste un groupe abélien qui satisfait une propriété.

[La case LaTeX. Jobherzt]

Alors :

- deja, dans le doute, est ce que tu ne serais pas tombé directement sur le message de Monk sans lire le mien ? La notion de produit tensoriel de représentation n'est {\bf pas} un produit tensoriel au dessus de $A$ mais au dessus de $K$, cad qu'on prend le produit tensoriel en tant qu'espace vectoriel. Ne serait ce que parce que par convention on identifie les représentations avec des $A$-modules à gauches, et donc que si $A$ n'est pas commutatif ca n'a pas de sens de prendre le produit tensoriel au dessus de $A$.

- ensuite, non on a pas $am\otimes_A n = m\otimes_A an$, car si $A$ n'est pas commutatif, le module $M$ doit etre un module à droite, donc $am$ n'a pas de sens. On a $ma\otimes_A n = m\otimes_A an$.

Donc attention, remarque que ce que tu ecris comme etant un probleme ne necessite pas de loi externe ! si tu enleves les membres de gauche et de droite, cad si tu gardes :
$$(abm)\otimes n=(am)\otimes(bn)=(bam)\otimes n$$

tu vois que ce que tu ecris est en fait {\bf la raison pour laquelle on a besoin que $M$ soit un un module à droite} Donc tu as bien mis le doigt sur un probleme mais pas exactement sur le bon, meme si l'idée est un peu la meme (tu suis toujours ?)

Donc tu as tort, mais en fait tu as raison, car definir de maniere raisonnable une structure de module à gauche sur le produit tensoriel, revient forcement en defintive a exiger que $M$ soit un module à gauche (mais ecrit avec les scalaires à droite ), ce qui nous fait retomber sur le probleme que tu souleves.

Tout ca peut paraitre obscure, mais l'idee à retenir est la suivante : {\bf la notion de module à gauche ou a droite n'est pas juste une convention d'ecriture}. Quand on fait agir un produit $ab$ sur un module à gauche, on fait agir d'abord $b$, ensuite $a$. Tandis que sur un module à droite, on fait agir d'abord $a$, ensuite $b$. C'est pour ca que dans le cas ou $A$ n'est pas commutatif, un module à gauche n'a vraiment pas de raison d'etre un module à droite, et reciproquement..

Voila, meme si encore une fois tout ceci n'intervient pas vraiment au niveau de la theorie des représentations...

Si on veut toujours faire le produit tensoriel d'un module à droite et d'un module à gauche, c'est parcequ'on ne veut pas que le produit vérifie $abm\otimes n=bam\otimes n$, mais rien n'empêcherait de construire un tel objet, non ?

Bien sur, et dans ce cas il me semble qu'on obtient un module sur le quotient de $A$ par l'idéeal engendré par les commutateurs $ab-ba$

Une dernière question : pour en revenir plus aux représentations, justement vous disiez qu'on pouvait faire le produit sur $K$ de représentations de $KG=\bigoplus_{g\in G}K.\delta_g$. Et pour cela, il suffit de trouver un morphisme de $K$-algèbre de $KG$ dans $KG\otimes_K KG$. J'ai dans mes notes que l'on prend
$\Delta : KG \rightarrow KG\otimes_K KG$ défini sur les générateurs $\delta_g$ par $\Delta(\delta_g)=\delta_g\otimes \delta_g$.
Mais pourtant $\Delta$ n'est pas $K$-linéaire, c'est bien cette application qu'il faut prendre ?

Ok, donc ton cours aborde cette notion de coproduit, je n'etais donc pas hors sujet Par contre, pourquoi cette application ne serait pas linéaire ? les $\delta_g$ forment une base (en tant qu'espace vectoriel) de $KG$, et pour definir une appli lineaire il est suffisant de donner l'image d'une base ! Plus precisement, tu as :

$$\Delta(\sum_{g \in G} \lambda_g \delta_g)=\sum_{g \in G} \lambda_g \delta_g \otimes \delta_g)$$

Tu peux verifier ensuite que c'est un morphisme d'algèbre. En fait, ce morphisme n'est rien d'autre que la traduction au niveau des algèbres du fait que l'application "diagonale" $G \rightarrow G\times G$ qui envoit $g$ sur $(g,g)$ est un moerphisme de groupe, avec l'identification $K(G \times G) \cong KG \otimes KG$.

Note que ce coproduit satisfait en plus une condition qu'on appelle coassociativité, qui garantit en gros que le produit tensoriel de représentation est associatif.

Pour les references je n'ai pas ca en tete, je t'avoue que j'ai appris deux trois trucs sur le sujet un peu sur le tas, mais je vais regarder.