Diviseurs du polynôme caractéristique
Bonjour,
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie, $K$ étant un corps quelconque, et soit $u\in L(E)$.
Connaissez-vous un moyen de montrer que si $P$ est un diviseur irréductible de $ \chi_u$, alors $P(u)$ n'est pas inversible, et ceci {\bf sans utiliser l'existence d'un sur corps dans lequel $P$ a une racine} ?
(le but final étant de montrer que $\mu_u$ et $\chi_u$ ont même diviseurs irréductibles)
Merci d'avance.
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie, $K$ étant un corps quelconque, et soit $u\in L(E)$.
Connaissez-vous un moyen de montrer que si $P$ est un diviseur irréductible de $ \chi_u$, alors $P(u)$ n'est pas inversible, et ceci {\bf sans utiliser l'existence d'un sur corps dans lequel $P$ a une racine} ?
(le but final étant de montrer que $\mu_u$ et $\chi_u$ ont même diviseurs irréductibles)
Merci d'avance.
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Réponses
Pour ta question je ne sais pas mais pour le but final, on peut montrer que $\mu_u\mid\chi_u\mid\mu_u^n$, où $n$ est la dimension de $E$.
Il me semble qu'on peut le faire sans extensions de corps, avec un truc du genre $\mu_u^n=\det(\mu_u(X){\rm Id})$ et en montrant que $\mu_u(X){\rm Id}=(u-X{\rm Id})Q(X,u)$ dans $M_n(K(X))$, avec $Q\in K[X,Y]$
On peut alors regarder la matrice M en question comme une matrice du L-espace vectoriel. Elle a le même polycaractéristique (ça oui j'en suis sûr) Q qui l'annule toujours (oui..) et P divise Q. Que dire du polynome P dans l'anneau L[Y]?? (je mets Y pour pas m'embrouiller avec X)
Soit R tel que Q=PR
Comme P(X)=0, P(Y)=(Y-X)T(Y) et donc P(M)=(M-XI)T(M)
det(P(M))=det(M-XI).det(T(M))=multiple de Q(X)=multiple de P(X)=0 (dans L) donc le déterminant calculé dans L de P (qui est le même que celui calculé dans K) est un ("vrai") multiple de P(X) dans K[X]. Vu que c'est sensé être un élément de K, c'est forcément 0 et P(M) n'est pas inversible
EDIT: je remets en taille normale pour raisons évoquées next post
l'argument de Badwolf est suffisant. On utilise bien sur le surcorps $K(X)$, mais celui-ci est bien connu de mes étudiants. Pas besoin de sortir un anneau quotient ou une clôture algébrique pour démontrer que $\chi_u\mid \mu_u^n$.
Juste des arguments élémentaires.
Je livre l'argument complet:
\begin{proof}
Le fait que $\mu_u\mid\chi_u$ vient du fait que $\chi_u$ est un polyn\^{o}me annulateur de $u$ par le Th\'{e}or\`{e}me de Cayley-Hamilton. Montrons que $\chi_u\mid \mu_u^n$. Puisque l'on a $$X^m-Y^m =(X-Y)Q_m(Y)\in K[X][Y] \mbox{ pour tout }m\geq 0,$$
on a donc $$\mu_u(X)-\mu_u(Y)=(X-Y)Q(Y)\in K[X][Y]$$ pour un certain $Q\in K[X][Y]$.
Soit $M$ la matrice représentative de $u$ dans une base fixée. On a donc $\mu_u(M)=0\in M_n(K)\subset M_n(K(X))$.
En appliquant le morphisme d'évaluation $$ev_M:K[X][Y]\to M_n(K[X])$$ à l'égalité précédente, on obtient
$$\mu_u(X)I_n=(XI_n-M)Q(M)\in M_n(K[X])\subset M_n(K(X)),$$
puisque $\mu_u(M)=0$. En prenant le déterminant des deux côtés, on obtient $$\mu_u^n=\chi_u \det(Q(M)) \in K[X].$$ Puisque $Q(M)\in M_n(K[X])$, $\det(Q(M)\in K[X]$ et on a le résultat voulu.
Je ne vois pas trop pourquoi...
Cordialement,
Ritchie
à coefficients dans un anneau dans mon cours et que je ne compte pas le faire, vu que j'en ai juste besoin pour définir le polynôme caractéristique.
Mais je suis complètement d'accords que normalement on n'en a pas besoin.
Si le polynôme caractéristique de $u$ est le produit des $P_i^{a_i}$ avec $P_i$ irréductible alors par le lemme des noyaux, $E$ s’écrit comme somme directe des $\ker\big(P_i^{a_i}(u)\big)$.
On fait de même pour le polynôme minimal de $u$, et on obtient une somme de sous-espaces qui est aussi égale à $E$, chacun de ces sous-espaces est inclus dans un $\ker\big(P_i^{a_i}(u)\big)$ (car le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique).
Donc si on veut que cette somme fasse $E$ tout entier il n’est pas possible que l’un des $P_i$ manque à l’appel dans le polynôme minimal.
La belle époque du forum....
:-(
Merci d’avoir corrigé.
Par contre je ne comprends pas pourquoi tu dis que dans un corps algébriquement clos ça ne fonctionne pas. Si $b_i=\dim \ker (u-\lambda_i)^{a_i} $ alors $(X-\lambda_i)^{b_i} $divise le polynôme caractéristique de $u$ et donc $b_i$ est plus petit que $a_i$ mais la somme des deux doit faire $n$.
Et j’ai l’impression, en ayant peur d’encore dire une bêtise, que ça doit marcher dans le cas général en utilisant l’existence d’un polynôme minimal ponctuel égal au polynôme minimal.
Et les $P_i$ irréductibles bien sûr
[Oui, tu as raison. Je retire la correction. AD]