Partie entière...

Bonjour,


Si tu ecris n=7q+r avec r inferieur a 7. Note que q= partie entiere de n/7 si je me trompe pas ,

rem : je note E la fonction partie entiere.

tu as : 2n²/7=2*(7q²+2qr+r²/7)

Il faut donc etudier E( 2r²/7) ce que tu peux faire en calcant directement. il y a valeur de r .


Bref si je me trompe pas :

E(2n²/7)=14q²+4qr+E(2r²/7)=14 E(n/7)²+4E(n/7) (n-7*E(n/7))+E(2r²/7)

Amicalement

Tu devrais donner l'exercice en entier, ca me permettrai de voir ce dont tu as besoin comme " expression "

amicalement

As-tu remarqué que $q = \left[\dfrac{2n^2}{7}\right]$ est le quotient de la division euclidienne de $2n^2$ par 7 : $ 2n^2= 7 q + r$ avec $0 \leq r < 7$.

Vois-tu un rapport entre le reste $r$ et $a_n$? Peux-tu calculer ce reste pour $n$ de la forme $7k+1$, $7k+2$, etc.?

[Coquille brisée . Bruno]

clothoide a écrit:

si on écrit n=7q+r , y a t-il un lien évident entre la partie entière de n et la division euclidienne

Pas la partie entière de $n$, mais la partie entière de $\dfrac{n}{7}$ ! Et je suis sûr que tu peux trouver ce lien. En fait, je l'ai indiqué dans mon premier message : il suffit de lire attentivement.

Bonjour Clothoïde.

As-tu calculé le premiers termes de ta suite, disons les 30 premiers ?

Cordialement.

Salut Clotho (et Bu, et Gérard),

Pour le calcul sous Maple c'est très simple, tu commences par définir la fonction $f$ qui t'intéresse :
\verb|> f:=proc(n) 2*n^2/7-floor(2*n^2/7) end:|
Puis tu fais calculer les valeurs de $f$ sur les 31 premiers entiers naturels :
\verb|> seq(f(n), n=0..30);|
(aux erreurs de syntaxe près).

Je pense que tu devrais prendre le temps réfléchir un peu à ce lien entre division euclidienne et partie entière ; d'une part, le quotient $q$ dans la division de $a$ par $b$ est le plus grand entier $k$ tel que $kb \leq a$, d'autre part la partie entière $q'=\lfloor a/b \rfloor$ est le plus grand entier $n$ tel que $n \leq a/b$.. il y a clairement un air de famille ! En fait il s'agit dans un cas de mettre des "piquets" espacés de $b$ et de voir dans quel intervalle tombe $a$, et dans l'autre de mettre des piquets espacés de $1$ et de voir dans quel intervalle tombe $a/b$.

D'autre part, en oubliant pour l'instant les histoires de partie entière, peux-tu donner le reste de la division euclidienne par $7$ de $2n^2$ connaissant celui de $n$ ? Ou encore mieux, détailler un calcul de congruences modulo $7$ ?

Salut Egoroff !

En fait, le premiers termes de la suite se calculent quasiment de tête. Et bien avant le trentième on a compris ce qui se passe. C'est même plus intéressant à la main qu'avec Maple.
je suis toujours surpris qu'on fasse l'étude d'une suite (simple) sans regarder combien valent ses termes.

Cordialement

Il y a quand même quelque chose qui cloche là-dedans : tu ne dis pas pour quelles valeurs de $n$ ces congruences ont lieu ?

Partie entière et division euclidienne.

Ne vois tu pas un léger rapport, pour $a$ et $b$ entiers, $b>0$, entre

$a=bq+r$ avec $q$ entier et $0\leq r < b$ (division euclidienne)

$\dfrac{a}{b} = \left[\dfrac{a}{b} \right] + f$ avec $ \left[\dfrac{a}{b} \right] $ entier et $0\leq f<1$ (définition de la partie entière)

Je ne fais que répéter avec des variations ce qu'on t'a déjà dit.

Une petite remarque :

Soit x un nombre réel positif, on suppose que x=n+y avec n entier positif et y un réel positif alors : E(x)=n+E(y)

- Est-ce que tu es d'accord avec ça ?

Maintenant tu écris 2n²=7q+r avec r < 7 tu en déduit que : 2n²/7=q+r/7.

Tu appliques la remarque : E(2n²/7)=q+E(r/7) mais r/7 < 1 donc E(r/7)=0. On en déduit que E(2n²/7)=q.
(cela dit la meilleur manière de le voir c'est le message de BU si dessus)

Si tu veux continuer : tu pars de 2n²/7=q+r/7 = > 2n²/7-E(2n²/7)=r/7
Ta suite a_n est exactement r/7 où r est le reste de la division de 2n² par 7.
Je te conseille d'étudier la périodicité de cette suite.

si n est congru a 0 mod 7 alors 2n² est congru a 0 mod 7 r= 0 = > a_n=0/7
si n est congru a 1 mod 7 alors 2n² est congru a 2 mod 7 r= 0 = > a_n=2/7

etc
Amicalement