Isomorphisme de $\frak S_3$ dans $D_3$

Bonjour Pigeon

Et si tu considérais l'action de D3 sur un triangle équilatéral, en notant 1, 2, 3 les sommets ?

Alain

Même pas besoin! Pigeon, je suppose que tu connais le nombre d'éléments de $D_3$ et aussi le nombre d'éléments de $\mathfrak{S}_3$.
Et maintenant, à ton avis, que peut-on dire d'une application injective d'un ensemble à six éléments dans un ensemble à six éléments?

Bonsoir, amicalement

Je rappelle la question :
Est-ce que tous les $D_n$ de $S_n$ sont conjugués ?


J'ajoute une deuxième question à la précédente, qui est restée sans réponse :
Quel est le plus grand $D_m$ contenu dans $S_n$ ?

[La case LaTeX. AD]

Des questions intéressantes ici-même vous ont échappé ! Même AD n'y a pas prêté attention, lui qui aime tant la théorie des groupes.


bonjour, amicalement

(Je vais être loin de mon poste en ce dimanche, @+.)

Est-ce que tous les $ D_n$ de $ S_n$ sont conjugués ?

Non. Pas pour $n=6$, par exemple.

Quel est le plus grand $ D_m$ contenu dans $ S_n$ ?

$m$ = le maximum des ordres des éléments de $S_n$.

est ce que les plus grands $ D_m$ de $ S_n$ sont-ils conjugués dans $ S_n$ ? et sont-ils maximaux dans $ S_n$ ?

Faute de français. Non. Non (toujours $n=6$).

Et tant que j'y suis, une petite question pour MachinNoir : est-ce que les $D_{1260}$ dans $S_{25}$ sont maximaux? Question intéressante, n'est-ce pas?

Meu bonsoir amicalement,
je suis rentré dimanche à 3h30 du matin, après avoir conduit 600km. Lundi j'ai travaillé toute la journée et me suis couché tôt, malgré les réprimandes des enfants, qui eux ne se couchent jamais. Ma fille est d'ailleurs encore réveillée: paraît-il demain il n'y a pas école !
Je ne m'agace jamais, ne boude jamais, ne me plains jamais.
J'ai parfois quelques regrets, mé meu parfois : c'est tout.


Allons, regardons de près.
Un $D_6$ dans $S_5$ s'obtient comme un produit direct d'un $S_3$ avec un $Z/2$ à côté.

Pour voir que les $D_6$ de $S_6$ ne sont pas conjugués, il suffit de regarder leurs $Z/6$ . Or les $Z/6$ de $S_6$ se répartissent en deux classes de conjugaison. Donc Meu tu as bien vu : bravo !

Le plus grand $S_k$ de $S_n$ est bien d'ordre $m$, le maximum des ordres des éléments de $S_n$. Voyons $S_{25}$ : la "plus grande" décomposition de 25 est je veux bien le croire 4+5+7+9 ce qui donne un ppcm =1630, bravo à nouveau. Il s'agit alors de trouver un élément d 'ordre deux qui conjugue (1234)(56789)(ABEFGHI)(JKLMNOPQR) et son inverse. Et l'on est ramené à montrer que il y a un tel élément pour un n-cycle dans $S_n$, et là c'est OK puisque $D_n$ se plonge dans $S_n$. Bien vu à nouveau Meu.
Est-ce que tu as trouvé cela tout seul ? Ou bien, as-tu trouvé cela tout seul ? Cela pour l'exercice de français.


Voyons pourquoi $D_6$ est maximal dans $S_5$. Un sous groupe intermédiaire hostile serait d'ordre 24 ou 60. Le seul sous-groupe d'ordre 60 est le groupe alterné qui ne peut contenir aucun $D_6$, car les éléments d'ordre $6$ sont tous conjugués et de signature -1. Quant aux sous-groupes d'ordre 24, ce sont les cinq $S_4$ et ceux-là ne contiennenet aucun dérangement, comme le sont les éléments d'ordre six. Tu as sans doute, cher Meu, un argument plus efficace ?


Voyons enfin pourquoi $D_{1260}$ n'est pas maximal dans $S_{25}$. C'es très improbable vu la taille de 25!
D'abord, un moment de réflexion et l'on voit que ces sous-groupes sont tous conjugués (on en déduit qu'aucun n'est dans le groupe alterné $A_{25}$ et on pourrait se poser alors la question de savoir la taille des diédraux maximaux de ce groupe alterné et leurs classes de conjugaison...)
je répondrai à cette question dans un fil suivant pour ne pas allonger celui-ci, qui l'est déjà trop.

l'aurait trouvé a écrit:

encore une faute de Francis, Meu.

http://3.bp.blogspot.com/_ljjVyB3BXZw/SrlFZe7qSEI/AAAAAAAAAsc/-JEPRmUgAuI/S240/Yuna.jpg

Je ne sais pas si l'on peut aller plus loin de façon élémentaire avec ces considérations sur les sous-groupes diédraux dans $S_n$

mais on peut se demander s'il y a des $D_n\times D_n$ dans $S_n$ ? et à partir de quels $n$ ?


On peut aussi se demander quel est le premier $S_n$ dans lequel on peut plonger le groupe quaterionique $Q_8$ à 8 éléments ($n\leq 8$), et le premier $S_n$ dans lequel on peut plonger $Q_8\times Q_8$.

Des questions en apparence élémentaire sur les groupes $S_n$ sont parfois assez difficiles.

Bonsoir amicalement

J'ai trouvé un $ D_{21}\times D_{21}$ dans $ S_{21}$. Peut-on faire mieux ?

Mon petit-fils me signale qu'il y a des $ D_{20}\times D_{20}$ dans $ S_{20}$. Il me dit aussi que ça commence à bien faire et que j'arrête de l'em... avec ces questions. Ah, ces jeunes! Tant pis, je vais devoir cesser d'apporter ses réponses pour faire l'intéressant (d'ailleurs, il semble que ça n'intéresse pas grand monde).

Amicalement,

on a ainsi exhibé un $D_{20}\times D_{20}$ dans $S_{18}$ et donc dans $S_{20}$, évidemment.

Bonjour

Je cherche aussi à montrer que $\mathfrak S_{3}$ est isomorphe à $D_{3}$. Je souhaiterais éviter les considérations géométriques pour écrire la preuve. Je sais que $D_{3} = Z_{3} \rtimes \{-1,1\}$.
Je sais aussi qu'il est engendré par $r :=(1,1)$ et $s :=(0,-1)$. Ainsi on peut décrire $D_{3} = \{1,r,r^{2},s,sr,sr^{2} \}$

Mais pour conclure, c'est un peu laborieux.

Un table de 36 cases ?

Super merci beaucoup !

Je les évite car je n'ai pas encore bien travaillé les isométries affines, donc j'évite de tendre le baton pour me faire battre.