Extensions transcendantes
Une petite question de théorie des corps :
Soit $E/F$ une extension d'un corps $F$. On considère une extension $E'/E$ telle que l'extension $E'/F$ soit transcendante pure. Est-il vrai que l'extension $E'/E$ est transcendante pure elle aussi?
Intuitivement je dirais que c'est vrai.
Qu'en pensez-vous?
Soit $E/F$ une extension d'un corps $F$. On considère une extension $E'/E$ telle que l'extension $E'/F$ soit transcendante pure. Est-il vrai que l'extension $E'/E$ est transcendante pure elle aussi?
Intuitivement je dirais que c'est vrai.
Qu'en pensez-vous?
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Réponses
On peut considérer le contre-exemple $k\subset k(x^2)\subset k(x)$ :-)
EDIT : oups, j'ai mal lu la question, désolé.
\begin{center}
$K/L$ transcendante pur : Si $x \in K$ est algébrique sur $L$ alors $x \in L$
\end{center}
Christophe je ne pense pas qu'il s'agisse d'une contradiction, $E$ est transcendant pur sur lui-même, avec pour base de transcendance la famille vide, et donc degré de transcendance $0$.
FCXWp
Amicalement
Existe-t-il des extensions transcendantes qui ne soient pas pures, je n'ose dire impures ? Merci.
Amicalement.
Si tu veux plutôt une extension transcendante qui ne soit pas transcendante pure, il doit suffire de rajouter un élément algébrique. Par exemple, $k=Q(i,X)$ est une extension transcendante de $Q$ mais elle n'est pas transcendante pure puisque $i\in k$ est algébrique sur $Q$ sans appartenir à $Q$.
Ou même "plus simplement" l'extension $R/Q$ est transcendante mais pas transcendante pure.
Dans la même veine, $k(X,Y)$ est de degré de transcendance $2$ sur $k$ donc n'est pas pure.
Et une petite question subsidiaire : est-ce que $Q(e,\pi)/Q$ est transcendante pure ?
Suite à vos réponses et après relecture de mon cours, j'ai compris, mais pas assez pour répondre à ta question subsidiaire.
Merci à tous.
Amicalement.
De plus, je me suis un peu mélangé en te répondant hier : je pensais en terme de degré de transcendance en étant convaincu que "extension de degré de transcendance 1=extension transcendante pure".
Mais on n'a pas "extension de degré de transcendance 1=extension transcendante pure" ! (la vraie définition a été écrite plus haut).
Donc j'ai dit n'importe quoi à propos de : "k(X,Y) est de degré de transcendance 2 sur k donc n'est pas pure", le début de la phrase est vraie mais pas la conclusion.
Merci pour l'info. Alors je ne connais pas assez précisément les notions abordées.
"Si L est engendré par une famille d'éléments algébriquement indépendants sur K, l'extension est dite purement transcendante."
Amicalement
Est ce que ma définition ( donnée un peu plus haut ) est équivalente ?
Amicalement
Je ne pense pas. En fait une extension $K/k$ est transcendante pure, par définition, si tout algébrique de $K$ sur $k$ est dans $k$.
Si on regarde l'extension $K=k[X,\sqrt{X},\sqrt{\sqrt{X}},\sqrt{\sqrt{\sqrt{X}}},\dots]$, alors elle est trancendante pure (sur $k$), mais n'est pas isomorphe au corps des fractions rationelles comme vous le décrivez. Cependant si l'extension a un degré de trancendance finie, alors ce théorème est probablement vraie (mais je n'en ai pas cherché la preuve).
Ainsi, si la fermeture algébrique d'un corps dans l'une de ses extensions purement transcendantes est bien réduite à lui-même, la réciproque est en revanche inexacte; vous en fournîtes, mpif, un contre-exemple; la question de sa démontrabilité se pose toujours en revanche au moins pour la classe restreinte des extensions de type fini...
Cordialement ;-)