Ce fil attire les foules suite au caractère passionné et souvent agressif de Pablo.
Ce fil peut également agir comme repoussoir pour de nouveaux venus amateurs de vraies mathématiques.
Il faudrait qu'on soit d'accord sur les propriétés que vérifient cet "anneau" $\mathbb{C}[k]$.
Si j'ai bien compris, on a une fonction $\phi\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}[k]$. Donc je vais lister des propriétés basique typique de ce genre de situation et vous direz les quels sont vraies, fausses, ou inconnus (de votre part).
J'utilise des anneaux pas forcément unitaire, autant inclure le maximum de possibilités, surtout qu'il semble y avoir des problèmes avec $1$.
Premièrement à propos de $\mathbb{C}[k]$.
1) $\mathbb{C}[k]$ est muni d'une opération binaire, qu'on va noter $+$.
2) il y a dans $\mathbb{C}[k]$ un élément distingué, qu'on va noter $0_k$.
3) $\mathbb{C}[k]$ muni de $+$ est un groupe commutatif d'élément neutre $0_k$, i.e. les assertions suivantes sont satisfaites :
3)a) pour tout $x,y,z$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $(x+y)+z=x+(y+z)$.
3)b) pour tout $x$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $x+0_k=0_k+x=x$.
3)c) pour tout $x$ dans $\athbb{C}[k]$ il existe $x'$ dans $\mathbb{C}[k]$ tel que $x+x'=x'+x=0_k$.
3)d) pour tout $x,y$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $x+y=y+x$.
4) $\mathbb{C}[k]$ est muni d'une opération binaire, qu'on va noter $\times$.
5) $\mathbb{C}[k]$ est un anneau pour $+$ et $\times$, i.e. les assertions suivantes sont satisfaites:
5)a) pour tout $x,y,z$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $(x\times y)\times z=x\times (y\times z)$.
5)b) pour tout $x,y,z$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $(x + y)\times z=x\times z + y\times z$.
5)c) pour tout $x,y,z$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $z\times (x + y)=z\times x+ z \times y$.
6) il y a dans $\mathbb{C}[k]$ un élément distingué, qu'on va noter $1_k$.
7) pour tout $x$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $x\times 1_k=1_k\times x=x$ (i.e. l'anneau précédent est unitaire).
8) pour tout $x,y$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $x\times y=y\times x$ (i.e. l'anneau précédent est commutatif).
J'ajoute l'assertion $9$ (qui semble fausse), mais on ne sait jamais.
9) Pour tout $x$ dans $\mathbb{C}[k]$, il existe $y$ dans $\mathbb{C}[k]$ tel que $x\times y=y\times x=1_k$.
Maintenant à propos des liens entre $\mathbb{C}[k]$ et $\mathbb{C}$. Je note aussi $+$ et $\times$ les opérations de $\mathbb{C}$, je note $0$ l'élément neutre de $\mathbb{C}$ pour l'addition et $1$ l'élément neutre pour la multiplication.
10) il y a une application distinguée $\phi\colon \mathbb{C}\to \mathbb{C}[k]$.
11) $\phi$ est un morphisme d'anneau, c'est à dire:
11)a) pour tout $x,y$ dans $\mathbb{C}$ on a $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$.
11)b) pour tout $x,y$ dans $\mathbb{C}$ on a $\phi(x\times y)=\phi(x)\times \phi(y)$.
12) $\phi$ préserve l'unité, i.e. $\phi(1)=1_k$.
13) $\phi$ est injective.
Maintenant à propos de $k$
14) $k^2=i$.
15) $k^4=1$.
Voila une liste d'assertions, pourriez vous indiquer (en les référant par leurs numéros) les assertions vraies ?
J'ai découpé certaines assertions, par exemple si vous affirmez 3), j'interpréterais cela comme 3)a), 3)b), 3)c), 3)d).
Bien sûr vous pouvez en sélectionner seulement certaines.
Enfin je suppose qu'on travaille avec des ensembles, fonctions etc. Par exemple si on a $x,y,z$ dans $\mathbb{C}[k]$ et $x=y$, alors $x+z=y+z$. L'égalité est transitive, etc.
Toutes les questions sont correctes à part : $ 12 $ et $ 13 $ ! S'il vous paraît qu'il y'a une erreur dans l'une de ces assertions correctes, et bien, venez dire pourquoi !
Par contre, pour la dernière question sur la transitivité, je ne peux repondre à cette question qu'après avoir trouvé le sous module de torsion de : $ \mathbb{C}[k] $ noté : $ \mathbb{C}[k]_{Tor} $ ! mais, ce qui est certain, est que $ 2 \mathbb{Z} \subset \mathbb{C}[k]_{Tor} $ !
Est-ce bien sérieux tout cela?
J'ai essayé de le dire au tout début: non, les mathématiques ne sont pas un jeu gratuit où l'on invente des machins pour le plaisir de délirer. Le truc de Pablo ne sert à rien, et en plus, il est incohérent à plus d'un titre.
Pire, Pablo n'entend que d'une oreille, ne comprend pas les réponses qui lui sont faites, et se permet bien souvent d'être désagréable.
Je pense qu'un tel fil est plutôt un repoussoir pour le forum.
Mais puisque $ \mathbb{C} \simeq \phi(\mathbb{C}) $, alors on va noter les éléments de $ \mathbb{C}[k] $ avec les mêmes notations que dans $ \mathbb{C} $, n'est ce pas ?
Pablo,
Tu me sembles avoir pris un enorme melon avec les quelques malheureuses années de fac que tu as
derriere toi, et tu te permet d'insulter des gens qui sont profs ou chercheur et prennent la peine
de te repondre de facon argumentée, alors que tu ne semble pas maitriser certaines bases contrairement
a ce que tu pretends.
Sache qu'il y a une charte pour ce forum, et que si tu insistes a ne pas vouloir la respecter les moderateurs
peuvent fermer la discussion, voire la supprimer et tu n'auras que tes yeux pour pleurer (nous ca nous fera des
vacances). Si tu veux on peut meme supprimer tous les smileys de tes messages pour commencer.
Alors STP lis la charte et respectes la. Tu es prévenu.
Je ne suis pas sûr de saisir la signification de : $2\mathbb{Z} \subset \mathbb{C}[k]_{Tor}$.
Vous voulez en fait dire $\phi(2\mathbb{Z})\subseteq \mathbb{C}[k]_{Tor}$ ?
De toute façon je montre quelque chose de beaucoup plus fort, maintenant qu'on est d'accord sur pas mal d'assertions faisons des calculs :
D'une part $1_k=k^4=(k^2)^2=i^2=-1_k$ (en fait il faudrait peut être définir $i_k$ un élément de $\mathbb{C}[k]$ tel que $i_k^2=-1_k$.
Du coup j'ai l'assertion :
17) $1_k+1_k=0_k$
\begin{align*}
\phi(2)&=\phi(1 + 1) &&\text{car $2=1+ 1$ dans $\mathbb{C}$}\\
&=\phi(1)+\phi(1) &&\text{par 11)a)}\\
&=1_k\times\phi(1)+1_k\times\phi(1) &&\text{par 7)}\\
&=(1_k+1_k)\times \phi(1) &&\text{par 5)b))}\\
&= 0_k\times \phi(1) &&\text{par 16)}\\
&= 0_k &&\text{car on est dans un anneau}.
\end{align*}
Maintenant on a $\phi(x)=\phi(2\times x/2)=\phi(2)\times\phi(x/2)=0_k\times\phi(x/2)=0_k$.
Donc :
18) $\phi$ est l'application nul.
Maintenant on a $\phi(x)=\phi(2\times x/2)=\phi(2)\times\phi(x/2)=0_k\times\phi(x/2)=0_k$.
Donc :
18) $\phi$ est l'application nul.
Non, $ 2 $ est un diviseur de $ 0 $ : $ 2\times 1 = 0 $, il n'y'a donc, pas d'inverse, donc tu ne peux pas écrire : $ \frac{x}{2} $ ! C'est pourquoi, j'insiste d'abord sur la determination du sous module : $ \mathbb{C}[k]_{Tor} $ ! Dit moi, c'est quoi d'abord, le sous module de Torsion de cet ensemble ,après, tout devient en quelques sortes accessible ! sans comprehension de la façon de se comporter à l'interieur du sous module de torsion, on ne peut pas déduire grande chose !
Merci de votre collaboration !
juste pour information $x \in \C$ donc oui on peut écrire $\frac{x}{2}$, ça doit être assez évident pour quelqu'un qui prétend maîtriser la théorie de Galois !
Avant de déterminer la partie de torsion de $\mathbb{C}[k]$ il faut comprendre l'application $\phi\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}[k]$.
Je prend donc un élément $x$ de $\mathbb{C}$, comme on est dans $\mathbb{C}$, on peut regarder $y=x/2$ (pour l'instant $\mathbb{C}[k]$ n'intervient pas). On a $2y=x$ c'est des nombres complexes, donc ça va.
Maintenant on regarde $\phi(x)=\phi(2\times y)=\phi(2)\times\phi(y)=0_k$.
Donc $\phi$ est l'application nul, il n'y a pas de choix.
En effet pour tout corps $K$, une application $\varphi_K:K\longrightarrow \C(k)$ est unique.
En effet pour tout élément $x\in K$, on a $\varphi_K(x)=\varphi_K(\frac{2x}{2})=\varphi_K(2)\varphi_K(\frac{x}{2})=0$.
On en déduit qu'il existe un unique morphisme de $K$-algèbres $K\longrightarrow \C(k)$, et ce pour tout corps $K$, puisque le morphisme nul convient! (tu remarques que les anneaux ici ne sont pas unitaires!).
Il est donc clair que $\C(k)$ est un objet initial dans la catégorie des $K$-algèbres. Je conjecture qu'il est aussi terminal, auquel cas on aurait encore beaucoup plus d'informations sur $\C(k)$.
D'autre part, l'élément i du corps des complexes C n'est pas un élément "inventé", ou dont on a "décrété" l'existence comme le "k" de l'extension que tu sembles vouloir construire.
Le corps des complexes - notons le C - est le produit cartésien R x R (R désignant le corps des réels), muni de deux lois de compositions interne : le triplet formé de R x R et de ces deux lois - que je ne rappelle pas ici - est ce qu'on appelle donc le corps des complexes.
L'élément i de C n'est autre que l'élément (0,1) de R x R et n'a rien d' "inventé".
Non, je voulais préciser une chose tout à l'heure avant même que vous postez vos derniers messages !
Pour les éléments de torsion, j'imagine autre chose, mais dites moi d'abord c'est quoi le sous module de torsion de $ \mathbb{C}[k] $ !
Ensuite, on écrit comme ça :
$ \forall a \in \mathbb{C} ~~ \forall x \in \mathbb{C}[k] $ : $ \phi ( a.x ) = a . \phi (x) $ car il n'est pas vu comme un anneau, point stop ! mais, il est vu comme une $ \mathbb{C} $ - algèbre ! c'est pourquoi, j'ai demandé que vous m'expliquez ce qu'est typiquement une extension d'anneau, mais hélas, personne ne repond à ce point là ! 8-)
Par contre, $ x $ et $ x' $ sont neutrement dans $ \mathbb{C}[k] $, à ce moment là d'accord :
c'est à dire :
$ \forall x,x' \in \mathbb{C}[k] $ : $ \phi (x \times x') = \phi (x) \times \phi (x') $
Cordialement !
Ben voilà ! je cherche donc le sous module de torsion : $ \mathbb{C}[k]_{Tor} $ et en même temps l'annulateur de $ \mathbb{C}[k]_{Tor} $ !
Désolé, tout à l'heure je confondais ces deux notions, mais c'est pas grave !
Ben, si l'annulateur de $ \mathbb{C}[k]_{Tor} $ est égale à $ 2 \mathbb{Z} $ comme j'avais precisé dans les posts precedents, à ce moment là, il est clair que : $ 2 \mathbb{Z} $ n'est pas un idéal de $ \mathbb{C} $ ! ce qui veut dire qu'il y'a peut être d'autres éléments annulateurs du sous module de torsion !
Bon, c'est du grand n'importe quoi. J'ignore comment on est arrivé à autant de messages. Revois tes bases et vient poser des questions qui ont du sens. Evite les smileys et les traits d'humour, et lis les conseils que l'on te donne. Reviens ensuite poser des questions.
Je ferme également ce fil, car il me semble que le ton ne cesse d'augmenter entre certains membres et toi.
Si tu désires me dire quelque chose, contacte moi par message privé.
Bonne continuation !
Réponses
Ce fil attire les foules suite au caractère passionné et souvent agressif de Pablo.
Ce fil peut également agir comme repoussoir pour de nouveaux venus amateurs de vraies mathématiques.
Amicalement.
Si j'ai bien compris, on a une fonction $\phi\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}[k]$. Donc je vais lister des propriétés basique typique de ce genre de situation et vous direz les quels sont vraies, fausses, ou inconnus (de votre part).
J'utilise des anneaux pas forcément unitaire, autant inclure le maximum de possibilités, surtout qu'il semble y avoir des problèmes avec $1$.
Premièrement à propos de $\mathbb{C}[k]$.
1) $\mathbb{C}[k]$ est muni d'une opération binaire, qu'on va noter $+$.
2) il y a dans $\mathbb{C}[k]$ un élément distingué, qu'on va noter $0_k$.
3) $\mathbb{C}[k]$ muni de $+$ est un groupe commutatif d'élément neutre $0_k$, i.e. les assertions suivantes sont satisfaites :
3)a) pour tout $x,y,z$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $(x+y)+z=x+(y+z)$.
3)b) pour tout $x$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $x+0_k=0_k+x=x$.
3)c) pour tout $x$ dans $\athbb{C}[k]$ il existe $x'$ dans $\mathbb{C}[k]$ tel que $x+x'=x'+x=0_k$.
3)d) pour tout $x,y$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $x+y=y+x$.
4) $\mathbb{C}[k]$ est muni d'une opération binaire, qu'on va noter $\times$.
5) $\mathbb{C}[k]$ est un anneau pour $+$ et $\times$, i.e. les assertions suivantes sont satisfaites:
5)a) pour tout $x,y,z$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $(x\times y)\times z=x\times (y\times z)$.
5)b) pour tout $x,y,z$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $(x + y)\times z=x\times z + y\times z$.
5)c) pour tout $x,y,z$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $z\times (x + y)=z\times x+ z \times y$.
6) il y a dans $\mathbb{C}[k]$ un élément distingué, qu'on va noter $1_k$.
7) pour tout $x$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $x\times 1_k=1_k\times x=x$ (i.e. l'anneau précédent est unitaire).
8) pour tout $x,y$ dans $\mathbb{C}[k]$ on a $x\times y=y\times x$ (i.e. l'anneau précédent est commutatif).
J'ajoute l'assertion $9$ (qui semble fausse), mais on ne sait jamais.
9) Pour tout $x$ dans $\mathbb{C}[k]$, il existe $y$ dans $\mathbb{C}[k]$ tel que $x\times y=y\times x=1_k$.
Maintenant à propos des liens entre $\mathbb{C}[k]$ et $\mathbb{C}$. Je note aussi $+$ et $\times$ les opérations de $\mathbb{C}$, je note $0$ l'élément neutre de $\mathbb{C}$ pour l'addition et $1$ l'élément neutre pour la multiplication.
10) il y a une application distinguée $\phi\colon \mathbb{C}\to \mathbb{C}[k]$.
11) $\phi$ est un morphisme d'anneau, c'est à dire:
11)a) pour tout $x,y$ dans $\mathbb{C}$ on a $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$.
11)b) pour tout $x,y$ dans $\mathbb{C}$ on a $\phi(x\times y)=\phi(x)\times \phi(y)$.
12) $\phi$ préserve l'unité, i.e. $\phi(1)=1_k$.
13) $\phi$ est injective.
Maintenant à propos de $k$
14) $k^2=i$.
15) $k^4=1$.
Voila une liste d'assertions, pourriez vous indiquer (en les référant par leurs numéros) les assertions vraies ?
J'ai découpé certaines assertions, par exemple si vous affirmez 3), j'interpréterais cela comme 3)a), 3)b), 3)c), 3)d).
Bien sûr vous pouvez en sélectionner seulement certaines.
Enfin je suppose qu'on travaille avec des ensembles, fonctions etc. Par exemple si on a $x,y,z$ dans $\mathbb{C}[k]$ et $x=y$, alors $x+z=y+z$. L'égalité est transitive, etc.
Par contre, pour la dernière question sur la transitivité, je ne peux repondre à cette question qu'après avoir trouvé le sous module de torsion de : $ \mathbb{C}[k] $ noté : $ \mathbb{C}[k]_{Tor} $ ! mais, ce qui est certain, est que $ 2 \mathbb{Z} \subset \mathbb{C}[k]_{Tor} $ !
15) $\mathbb{C}[k]$ est engendré par $\phi(\mathbb{C})\cup\{k\}$ avec les opérations $+$ et $\times$.
Est-ce bien sérieux tout cela?
J'ai essayé de le dire au tout début: non, les mathématiques ne sont pas un jeu gratuit où l'on invente des machins pour le plaisir de délirer. Le truc de Pablo ne sert à rien, et en plus, il est incohérent à plus d'un titre.
Pire, Pablo n'entend que d'une oreille, ne comprend pas les réponses qui lui sont faites, et se permet bien souvent d'être désagréable.
Je pense qu'un tel fil est plutôt un repoussoir pour le forum.
Bien cordialement
Christian
Tu me sembles avoir pris un enorme melon avec les quelques malheureuses années de fac que tu as
derriere toi, et tu te permet d'insulter des gens qui sont profs ou chercheur et prennent la peine
de te repondre de facon argumentée, alors que tu ne semble pas maitriser certaines bases contrairement
a ce que tu pretends.
Sache qu'il y a une charte pour ce forum, et que si tu insistes a ne pas vouloir la respecter les moderateurs
peuvent fermer la discussion, voire la supprimer et tu n'auras que tes yeux pour pleurer (nous ca nous fera des
vacances). Si tu veux on peut meme supprimer tous les smileys de tes messages pour commencer.
Alors STP lis la charte et respectes la. Tu es prévenu.
Eric
S'il a lu la charte comme il lit des cours de math, c'est à dire en diagonale, alors il n'est pas prêt de la respecter B-)
Vous voulez en fait dire $\phi(2\mathbb{Z})\subseteq \mathbb{C}[k]_{Tor}$ ?
De toute façon je montre quelque chose de beaucoup plus fort, maintenant qu'on est d'accord sur pas mal d'assertions faisons des calculs :
D'une part $1_k=k^4=(k^2)^2=i^2=-1_k$ (en fait il faudrait peut être définir $i_k$ un élément de $\mathbb{C}[k]$ tel que $i_k^2=-1_k$.
Du coup j'ai l'assertion :
17) $1_k+1_k=0_k$
\begin{align*}
\phi(2)&=\phi(1 + 1) &&\text{car $2=1+ 1$ dans $\mathbb{C}$}\\
&=\phi(1)+\phi(1) &&\text{par 11)a)}\\
&=1_k\times\phi(1)+1_k\times\phi(1) &&\text{par 7)}\\
&=(1_k+1_k)\times \phi(1) &&\text{par 5)b))}\\
&= 0_k\times \phi(1) &&\text{par 16)}\\
&= 0_k &&\text{car on est dans un anneau}.
\end{align*}
Maintenant on a $\phi(x)=\phi(2\times x/2)=\phi(2)\times\phi(x/2)=0_k\times\phi(x/2)=0_k$.
Donc :
18) $\phi$ est l'application nul.
Merci de votre collaboration !
Merci d'avance !
Merci d'avance !
Je prend donc un élément $x$ de $\mathbb{C}$, comme on est dans $\mathbb{C}$, on peut regarder $y=x/2$ (pour l'instant $\mathbb{C}[k]$ n'intervient pas). On a $2y=x$ c'est des nombres complexes, donc ça va.
Maintenant on regarde $\phi(x)=\phi(2\times y)=\phi(2)\times\phi(y)=0_k$.
Donc $\phi$ est l'application nul, il n'y a pas de choix.
En effet pour tout corps $K$, une application $\varphi_K:K\longrightarrow \C(k)$ est unique.
En effet pour tout élément $x\in K$, on a $\varphi_K(x)=\varphi_K(\frac{2x}{2})=\varphi_K(2)\varphi_K(\frac{x}{2})=0$.
On en déduit qu'il existe un unique morphisme de $K$-algèbres $K\longrightarrow \C(k)$, et ce pour tout corps $K$, puisque le morphisme nul convient! (tu remarques que les anneaux ici ne sont pas unitaires!).
Il est donc clair que $\C(k)$ est un objet initial dans la catégorie des $K$-algèbres. Je conjecture qu'il est aussi terminal, auquel cas on aurait encore beaucoup plus d'informations sur $\C(k)$.
Le corps des complexes - notons le C - est le produit cartésien R x R (R désignant le corps des réels), muni de deux lois de compositions interne : le triplet formé de R x R et de ces deux lois - que je ne rappelle pas ici - est ce qu'on appelle donc le corps des complexes.
L'élément i de C n'est autre que l'élément (0,1) de R x R et n'a rien d' "inventé".
Pour les éléments de torsion, j'imagine autre chose, mais dites moi d'abord c'est quoi le sous module de torsion de $ \mathbb{C}[k] $ !
Ensuite, on écrit comme ça :
$ \forall a \in \mathbb{C} ~~ \forall x \in \mathbb{C}[k] $ : $ \phi ( a.x ) = a . \phi (x) $ car il n'est pas vu comme un anneau, point stop ! mais, il est vu comme une $ \mathbb{C} $ - algèbre ! c'est pourquoi, j'ai demandé que vous m'expliquez ce qu'est typiquement une extension d'anneau, mais hélas, personne ne repond à ce point là ! 8-)
Par contre, $ x $ et $ x' $ sont neutrement dans $ \mathbb{C}[k] $, à ce moment là d'accord :
c'est à dire :
$ \forall x,x' \in \mathbb{C}[k] $ : $ \phi (x \times x') = \phi (x) \times \phi (x') $
Cordialement !
Désolé, tout à l'heure je confondais ces deux notions, mais c'est pas grave !
Je ferme également ce fil, car il me semble que le ton ne cesse d'augmenter entre certains membres et toi.
Si tu désires me dire quelque chose, contacte moi par message privé.
Bonne continuation !