Anneaux pas nécessairement unitaires

willouuu
willouuu
dans Algèbre
Bon comme on avait déjà commencé à en parler ici je ne trouve pas spécialement utile d'ouvrir un nouveau sujet. Cependant si les modérateur voulait transformer ce message en nouveau sujet je n'aurai rien contre.
Donc comme prévu je me suis replongé un peu ce matin dans mes livres d'algèbre pour revoir un peu tout ça. Ce ne fût pas inutile.
Cependant j'ai un petit soucis , la proposition 1.53 du livre anneaux-Corps de J.Calais nous dit que :
Soient A et B deux anneaux $f\in Hom(A,B)$
2) Si A est unitaire, alors $Im(f)$ est un anneau unitaire dont l'élément unité est $f(1_A)$; de plus si x est inversible alors $f(x)$ l'est aussi.

Bon mon soucis tiens à l'exemple de Bruno. Dans le cadre de cet exemple on peut alors dire que (1,0) serait l'élément unité du sous -anneau de $\Z^2$ suivant $\{ (a,0) / a\in \Z \}$.
Et du coup ce sous-anneau serait unitaire et d'élément unité différent de (1,1) qui est l'élément unité de $\Z^2$.

Alors est-ce que ce que je raconte est valide ou bien je suis encore en train de raconter n'importe quoi?

Réponses

  • Léon
    Léon
    Bonjour willouuu,
    en fait, sauf erreur de ma part, un anneau $A$ inclus dans un anneau $B$ (avec les mêmes lois) en est un sous-anneau si son neutre pour la deuxième loi est le même que celui de $B$ (c'est la définition me semble-t-il). Sinon, c'est simplement un anneau inclus dans $B$, et c'est le cas dans l'exemple que tu mentionnes.
  • PB
    PB
    Et du coup ce sous-anneau serait unitaire et d'élément unité différent de (1,1) qui est l'élément unité de $ \mathbb{Z}^2$.
    C'est correct. Je résume :
    - $\mathbf Z^2$ est un anneau unitaire (d'unité $(1,1)$)
    - $\mathbf Z\times \{0\}$ est un anneau unitaire (d'unité $(1,0)$)
    - $\mathbf Z\times \{0\}$ est un sous-anneau de $\mathbf Z^2$.

    On ne dira pas (il me semble) que $\mathbf Z\times \{0\}$ est un sous-anneau unitaire de $\mathbf Z^2$, mais que $\mathbf Z\times \{0\}$ est un sous-anneau de $\mathbf Z^2$ qui est (je parle de $\mathbf Z\times \{0\}$^) un anneau unitaire. Car il y a une différence entre "sous-anneau unitaire" et "sous-anneau qui est un anneau unitaire". On réserve (il me semble) "sous-anneau unitaire" aux sous-anneaux qui contiennent l'unité de l'anneau.
  • willouuu
    willouuu
    Merci beaucoup pour ces réponses rapides.
    PB ton message a éclairci tout ça dans mon esprit. Et crois moi ça peut paraître bête mais tout ça me triturait l'esprit depuis hier soir.

    Leon en fait tout dépend des définitions de départ.
    Dans le Hauchecorne on dit page 34 que $2\Z$ est un pseudo-anneau car il ne possède pas d'élément neutre. Cela vient du fait que la définition d'anneau considérée ne parle que d'anneau unitaire et du coup la définition de sous-anneau rend obligatoire la présence de l'élément neutre de la multiplication dans tout sous-anneau. Du même coup $2\Z$ n'est pas un sous-anneau de $\Z$.
    Dans le J.Calais on dit que $n\Z$ est un sous-anneau de $\Z$ pour tout n entier naturel. Ce qui est valide car la définition d'anneau retenue par l'auteur tient compte des anneaux non-unitaire.
    Je comprends un peu mieux maintenant pourquoi on impose que les anneaux soit unitaires dans les programmes de concours.
  • LEF0
    LEF0
    @ Willouuu,

    je vais peut-être enfoncer des portes ouvertes, mais les anneaux non-unitaires sont à peu de chose près des idéaux d'anneaux unitaires (tu viens de le voir avec les $n\Z$ dans ton exemple précédent). Je pense que c'est aussi pour ça que la tendance, dans les cours ou dans les programmes de concours, est d'imposer que les anneaux soient unitaires et d'étudier leurs idéaux plutôt que de faire des anneaux non-unitaires. En plus je ne sais pas ce qu'il en est dans la recherche actuelle, mais dans les cours de théorie algébrique des nombres ou de géométrie algébrique, les anneaux qu'on rencontre sont toujours unitaires.


    @ C. de Pluquaire

    Comme l'a dit lioobayoyo, je faisais référence à un précédent fil où Pablo annonçait fiérement que son ensemble $\C[k]$, qui ne pouvait pas être un $\C$-module puisque sinon ce serait un $\C$-espace vectoriel, était tout de même muni d'une structure de $\C$-algèbre. Dans laquelle $1 \neq -1$ d'ailleurs, mais c'est une autre histoire.
  • Bruno
    Bruno
    Bonjour à tous.

    Je trouve gênant de pirater le sujet ouvert par Pablo par simple politesse pour celui-ci (je parle de Pablo, pas de son sujet) ; j'ai donc scindé les deux discussions et je modifie le titre de celle-ci.

    Bruno
  • Bruno
    Bruno
    Lef a écrit : a écrit:
    les anneaux non-unitaires sont à peu de chose près des idéaux d'anneaux unitaires (tu viens de le voir avec les $ n\mathbb{Z}$ dans ton exemple précédent).

    Cela me trottait dans la tête depuis hier soir, au passage je pense que le mot que nous cherchions Gérard et moi est \og\ {\it idempotent} \fg. Soit $(A,+,\ldotp,1_a)$ un anneau unitaire commutatif et un morphisme $f$ de $A$ vers $(B,+,\cdot,1_b)$ autre anneau unitaire et commutatif.

    \begin{enumerate}
    \item On pose :$$\forall\,(a,x) \in A \times B \qquad a \star x = f(a) \cdot x$$Si $f(1_a) \neq 1_b$, l'opération externe ainsi définie ne confère pas à $B$ une structure de $A$-algèbre puisque l'axiome $1_a \star x = x$ est violé. Ceci me paraît expliquer l'attention portée aux morphismes d'anneaux unitaires car le but du morphisme est {\it ipso facto} une algèbre dont l'anneau des scalaires est la source de ce morphisme.
    \item Plaçons-nous dans le cas où $f(1_a) \neq 1_b$ ; alors $e = f(1_a)$ est un idempotent de $B$ puisque :$$e^2 = f(1_a) \cdot f(1_a) = f(1_a^2) = f(1_a) = e$$et de plus $(1_b - e)^2 = 1_b - 2\,e + e^2 = 1_b - e$ et $e \cdot (1_b - e) = 0$. Il s'ensuit que l'idéal principal $B\,e$ est un sous $B$-module facteur direct de $B$.
    \item Par contre je ne vois pas, pour l'instant, de raison valable pour que l'image de $f$ soit un idéal de $B$.
    \end{enumerate}
  • GreginGre
    GreginGre
    Je rebondis sur ce qu'à dit Bruno. Même dans le cas d'un morphismes d'anneaux unitaires $f:A\to B$, il n'y aucune raison pour que son image soit un idéal de $B$. Penser par exemple l'inclusion de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Q}$. Bien sûr, cela devient vrai si $f$ est surjective.

    Enfin, si $A$ est un anneau unitaire et $e$ un idempotent, alors l'idéal $eAe$ est un anneau unitaire, d'unité $e$, qui n'est pas un sous-anneau de $A$ (j'ai pris $eAe$ et pas $eA$, car je ne suppose pas que $A$ soit commutatif. Si $A$ est commutatif, $eAe=eA$ car $e$ est idempotent)
  • Bruno
    Bruno
    On va arriver aux anneaux réguliers de Von Neumann.

    Bruno
  • lioobayoyo
    lioobayoyo
    Bonjour, je lisais ça et il me semblait avoir appris un exemple d'anneau non-unitaire assez simple :

    L'espace des fonctions réelles à une variable continues telles que f(0) = 0, muni de l'addition et de la multiplication usuelles sont un anneau (c-à-d opérations internes, associatives, commutatives, multiplication distributive sur l'addition) sauf qu'il n'existe pas de fonction e dans cet espace telle que
    $e(0) = 0$ et $e(x)*f(x) = f(x)$ $\forall$ $f$ dans cet espace.

    j'espère ne pas être hors-sujet.
  • LEF0
    LEF0
    Salut Lioobayoyo,

    tu noteras, si je ne dis pas de bêtise (je suis fatigué là), que ton anneau non unitaire est un idéal de l'ensemble des fonctions d'une variable réelle continues (où l'unité est la fonction constante égale à 1).

    Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris les propos de Bruno et de GreginGre, donc dans le doute je vais préciser un peu.
    Ce que je voulais dire par «les anneaux non-unitaires sont à peu de chose près des idéaux d'anneaux unitaires» c'était plutôt dans le sens où si j'ai un anneau non unitaire, je peux le plonger dans un anneau unitaire dans lequel ce sera un idéal.
    Toujours sauf erreur, si $A$ est un anneau non unitaire, on doit pouvoir munir $\Z \times A$ (qui a pour addition celle de groupe produit) de la multiplication
    $$ (n,a) \star (n',a') = (nn',na'+n'a+aa') $$
    où $na'=\underbrace{a'+\cdots+a'}_{n \text{ fois}}$ et $aa'$ est le produit de $a$ et $a'$ dans l'anneau $A$.

    Alors si je n'ai pas raconté de bêtise et que c'est bien une multiplication d'anneau, l'élément $(1,0_A)$ est une unité et on a le plongement naturel
    $$ \begin{array}{ccc} A & \mapsto & \Z \times A \\ a &\longrightarrow & (0,a) \end{array}$$
    et l'image de $A$ par ce plongement est bien un idéal de $\Z \times A$
  • afk
    afk
    Pour continuer la discussion sur les idempotents, dans le cas commutatif unitaire, on a equivalence entre $A = B\times C$ et $A$ admet des éléments $b,c$ non nuls tels que $b^2 = b$, $c^2 = c$ et $bc = 0$.

    Geometriquement, on inteprète $A$ (resp. $B$, $C$) comme l'anneau des fonctions sur un espace $X$ (resp. $Y$, $Z$). Alors, $X = Y\amalg Z$ et $b = 1_Y$, $c = 1_Z$ les fonctions caractéristiques des composantes. La décomposition en composantes connexes de $X$ correspond a la decomposition de l'anneau $A$ selon ses idempotents.
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bonne nuit à tout le monde,
    Les anneaux, et algèbres, classiques (l1(Z,lR ou lC,*) (* produit de convolution, et L1(lR,lR ou lC,*) (produit de convolution encore) sont sans unité.
    Mais, d'autre part, classique aussi, toute algèbre peut être munie d'une unité. J'ignore si c'est faisable pour un anneau (il me semble que l'opération externe intervient, pas sûr ?).
    Dans beaucoup de livres d'algèbre (alg. commutative, ...) on suppose d'emblée que les anneaux sont unitaires et qu'un morphisme applique l'unité de départ sur l'unité d'arrivée.
    Bien cordialement. :)
  • afk
    afk
    Tout anneau est une algèbre sur $\Z$ donc on doit pouvoir poser, pour $A$ anneau quelconque, $A_1 = \Z \oplus A$ avec $(n,a)(n',a') = (nn',na'+n'a)$ non?

    Geometriquement, c'est l'analogue de la compactification d'Alexandrov. L'inconvénient est que est une compactification "bête" qui detruit la geometrie. L'unitarisation "bête" fait de même même si elle a son intérêt par exemple dans la théorie des $C^*$-algèbres.
  • Bruno
    Bruno
    Pour C. de Pluquaire, j'allais te faire la même objection qu'afk :D.

    Pour LEF, là je t'ai bien compris, on prend un anneau non unitaire et on le plonge formellement comme idéal d'un anneau unitaire. Cet objet est même un objet initial si je ne me trompe pas : tout morphisme de A dans un anneau unitaire se prolonge de façon unique à cette extension.

    Bruno
  • willouuu
    willouuu
    Je n'avais jamais vu le rapport entre morphisme d'anneaux et algèbre. Du coup j'ai une petite question pour Greingre: ta construction à partir d'un élément idempotent et un anneau A n'est pas un sous-anneau parce qu'il ne contient pas l'unité de A ?

    En fait qu'est ce qui fait que l'on a "imposé" à un anneau et à un sous-anneau d'être unitaire?
    Parce que le fait de considéré des anneaux et sous-anneaux non unitaire n'enlève rien théoriquement parlant. A part bien entendu qu'il faut faire attention à bien vérifier que l'on considère des morphismes d'anneaux unitaires sur certaine construction comme l'a souligné Bruno sur la définition d'algèbre à partir de morphisme d'anneaux.

    Et du coup une autre question, dans le cadre des concours comme le CAPES quelle définition prévaut?

    Je me permet encore une question , une fois un de mes profs nous avait expliqué que la sous-structure intéressante dans le cadre des anneaux étaient les idéaux et non les sous-anneaux. Par exemple pour la construction de corps en quotientant par un idéal maximal. Je me demande si il y a d'autres raisons ?

    En tout cas merci pour toutes ces détails et d'avoir pris le temps de fournir des explications assez détaillées. Je retourne de ce pas à mes cours et livres d'algèbre pour refaire quelques exercices et voir par la suite de plus près les algèbres.
  • Bruno
    Bruno
    wilouuu a écrit : a écrit:
    En fait qu'est ce qui fait que l'on a "imposé" à un anneau et à un sous-anneau d'être unitaire?
    Je me cite, voir plus haut (pour une fois) : a écrit:
    Si $ f(1_a) \neq 1_b$, l'opération externe ainsi définie ne confère pas à $ B$ une structure de $ A$-algèbre puisque l'axiome $ 1_a \star x = x$ est violé. {\bf Ceci me paraît expliquer l'attention portée aux morphismes d'anneaux unitaires car le but du morphisme est ipso facto une algèbre dont l'anneau des scalaires est la source de ce morphisme.}

    Les idéaux me paraissent plus importants que les sous-anneux à deux titres :
    \begin{enumerate}
    \item ils codent les seules images possibles de l'anneau par un morphisme ;
    \item ce sont les sous $A$-modules du $A$-module $A$.
    \end{enumerate}
    Mais je ne suis pas algébriste et il y a probablement des raisons plus profondes à exhiber.

    Bruno
  • C. de Pluquaire
    C. de Pluquaire
    Bon début de nuit à tous,
    @ afk et à Bruno: donc on peut affubler un anneau d'une unité. D'accord. Mais je n'ai jamais dit que l'anneau et son "unitarisé" se ressemblaient assez pour considérer qu'ils sont identifiables en toute occasion.
    Mais je suppose qu'il y a des cas où l'unitarisé d'un anneau (d'une algèbre) peut être identifié à un anneau (une algèbre) unitaire déjà bien connu.
    Dans le cadre des algèbres de Banach, la notion d'unité approchée est plus utile (intéressante) que celle d'algèbre de Banach unitarisée.
    En tout cas ce fil est intéressant parce qu'il montre qu'on peut se poser des questions à propos de notions bien innocentes a priori.
    Bien cordialement. :)
  • DedenK
    DedenK
    Bonjour,

    J'ai trouvé ça : http://irem.univ-reunion.fr/IMG/pdf/Barome_anneaux_corps.pdf
    Dès la première page, ça répond à la question ! ;) De plus, la suite de ce cours est totalement passionnante ! #RemiseANiveau ! :D

    Cordialement, DedenK.
  • Poirot
    Poirot
    Est-ce que ça valait bien le coup de remonter un fil vieux de 10 ans pour ça ?
  • DedenK
    DedenK
    Je ne vois pas trop le problème qu'il y a à remonter de vieux fils... je suis tombé sur ce post parce que je cherchais une réponse à cette même question (ou proche, du moins), et je trouvais donc intéressant de partager ce cours que j'ai également trouvé très intéressant et qui répond en détails à ce problème actuel que j'ai retrouvé un peu partout sur différents forum et mêmes articles Wikipedia : le changement des définitions au cours du temps (anneau -> pseudo-anneau et anneau unitaire -> anneau). Pour ma part, je préfère l'ancienne formulation, mais c'est sans aucun doute parce que c'est ainsi que j'ai appris ! XD

    Quel mal y a-t-il à ça ?...
  • Sinusix
    Sinusix
    Aucun mal. Bien au contraire.
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