Matrice pseudo - Vandermonde
Bonsoir à tous : 
Une matrice pseudo-Vandermonde est la matrice $ n \times n $ définie par :
$$ V^{*} = \begin{pmatrix}
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\
a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{n}^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{1}^{n} & a_{2}^{n} & \cdots & a_{n}^{n}
\end{pmatrix} $$
avec : $ (a_{1} , \ldots , a_{n}) \in \mathbb{R}^{n} $
Exercice :
Soit : $ u \in \mathbb{R} $ :
Trouver la méthode qui permet de déterminer les couples : $ (a_{1} , \ldots , a_{n}) \in \mathbb{R}^{n} $ telle que l'équation suivante est vérifiée :
$$ V^{*}.X=U $$ avec $$ X = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\vdots\\
1
\end{pmatrix} \qquad \mathrm{ et } \qquad U = \begin{pmatrix}
u \\
u^2 \\
\vdots \\
u^n
\end{pmatrix} $$
Merci d'avance !
Une matrice pseudo-Vandermonde est la matrice $ n \times n $ définie par :
$$ V^{*} = \begin{pmatrix}
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\
a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{n}^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{1}^{n} & a_{2}^{n} & \cdots & a_{n}^{n}
\end{pmatrix} $$
avec : $ (a_{1} , \ldots , a_{n}) \in \mathbb{R}^{n} $
Exercice :
Soit : $ u \in \mathbb{R} $ :
Trouver la méthode qui permet de déterminer les couples : $ (a_{1} , \ldots , a_{n}) \in \mathbb{R}^{n} $ telle que l'équation suivante est vérifiée :
$$ V^{*}.X=U $$ avec $$ X = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\vdots\\
1
\end{pmatrix} \qquad \mathrm{ et } \qquad U = \begin{pmatrix}
u \\
u^2 \\
\vdots \\
u^n
\end{pmatrix} $$
Merci d'avance !
Réponses
-
svp, un coup de main !
-
Tu ne sais pas effectuer un produit matriciel ? C'est explicité dans le cours sur le site.
Bruno -
Pour chaque $j$, il y a la solution $a_j=u$ et $a_k=0$ si $k\neq j$. Est-ce que ce sont les seules ? Quand on fait le produit matriciel, on obtient des relations polynomiales sur les $a_j$ en terme des puissances de $u$ qu'il faut ensuite exploiter.
Par exemple, pour $n=2$, on a $u=a_1+a_2$ et $u^2=a_1^2+a_2^2$ : en élevant au carré les deux membres de la première relation et en simplifiant à l'aide de la seconde, on obtient que $a_1a_2=0$. Ce qui prouve bien que les seuls couples $(a_1, a_2)$ possibles pour $n=2$ sont $(u,0)$ et $(0,u)$. -
Ne vous fatiguez pas à lui donner la solution.
De toute façon, soit il ne la comprend pas, soit pis cela ne l'intéresse pas.
Son seul plaisir est de faire de la calligraphie en posant des questions tous les cinq minutes sur des sujets différents ce qui donne le tournis et confirme l'impression de grande superficialité qui est incompatible avec la prétention de vouloir se cultiver sérieusement en mathématiques. -
Non, Fin de partie, tous ces postes que je crée et que tu vois devant toi renvoient sur un but bien précis que j'essayerai de devoiler plutard !
Bon ! Je commence par l'idée de Bruno :
$$ V^{*}.X=U $$
i.e :
$$ \begin{pmatrix}
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\
a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{n}^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{1}^{n} & a_{2}^{n} & \cdots & a_{n}^{n}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\vdots\\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
u \\
u^2 \\
\vdots \\
u^n
\end{pmatrix} $$
i.e :
$$ \begin{pmatrix}
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\
a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{n}^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{1}^{n} & a_{2}^{n} & \cdots & a_{n}^{n}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\vdots\\
1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1& 1 & ... & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
u \\
u^2 \\
\vdots \\
u^n
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1& 1 & ... & 1
\end{pmatrix} $$
et :
$$ \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\vdots\\
1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1& 1 & ... & 1
\end{pmatrix} = I_{n} \qquad \mathrm{ et } \qquad \begin{pmatrix}
u \\
u^2 \\
\vdots \\
u^n
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1& 1 & ... & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
u & 0 & \cdots & 0 \\
0 & u^2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & u^{n}
\end{pmatrix} $$
i.e :
$$ \begin{pmatrix}
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\
a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{n}^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{1}^{n} & a_{2}^{n} & \cdots & a_{n}^{n}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
u & 0 & \cdots & 0 \\
0 & u^2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & u^{n}
\end{pmatrix} $$
Est ce correct ?
Merci d'avance ! -
Faux.
Apprends à multiplier les matrices. -
stp, aide moi ! :S je sais multiplier les matrices mais, cette fois çi, je ne sais pas où est l'erreur !
-
$$ \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\vdots\\
1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1& 1 & ... & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{pmatrix} $$
Correct ou non ?
svp, celle çi est un peu difficile pour moi :
$$ \begin{pmatrix}
u \\
u^2 \\
\vdots \\
u^n
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1& 1 & ... & 1
\end{pmatrix} $$
svp, aidez moi, merci infiniment ! -
$$ \begin{pmatrix}
u \\
u^2 \\
\vdots \\
u^n
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1& 1 & ... & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
u & u & \cdots & u \\
u^{2} & u^{2} & \cdots & u^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
u^{n} & u^{n} & \cdots & u^{n}
\end{pmatrix} $$
-
Alors, il faut trouver les $ n $ è uplets : $ (a_1 , ... , a_n) \in \mathbb{C} $ tels que :
$$
\begin{pmatrix}
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\
a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{n}^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{1}^{n} & a_{2}^{n} & \cdots & a_{n}^{n}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
u & u & \cdots & u \\
u^{2} & u^{2} & \cdots & u^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
u^{n} & u^{n} & \cdots & u^{n}
\end{pmatrix}
$$
svp, un coup de main ! ne soyez pas avare ! :)o
Par contre, je vois que la suite de ce deveoppement reposera sur ce qu'a dit : tortillaflat dans son poste !
Il faut commencer par le cas le plus simple, pour voir comment les choses marchent ! et ensuite essayer de genraliser !
Merci d'avance ! -
svp, vous ne m'aidez pas du tout : :-(
A quoi est égale :
$$
\begin{pmatrix}
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\
a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{n}^{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
a_{1}^{n} & a_{2}^{n} & \cdots & a_{n}^{n}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{pmatrix} $$ -
Pablo écrivait:
> je sais multiplier les matrices
Tu prouves toi-même le contraire ( cela fera au moins une preuve à ton crédit ).
En plus du cours sur ce site vers lequel te dirige Bruno, tiens ( avec des dessins et tout ) : http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_matriciel -
$$ \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\vdots\\
1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1& 1 & ... & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{pmatrix} $$
J'aimerai avoir à corriger des trucs comme cela. Parce que le travail serait vite fait et la note vite trouvée: zéro !!
N'importe quoi !! -
mais c'est pourtant un résultat exact ! fin de partie ?!!
-
Hi:
Exact, comme tout ce qu'écrit Pablo.
Il ne faut pas confondre calligraphie et mathématiques. -
Vous êtes trop contrariant et mechant ! c'est pas bien ! (td)
-
"Hercule veux qu'on se remue !" (Lafontaine, Le charretier embourbé)
Si tu est trop flemmard pour prendre un papier et un crayon et multiplier toi-même tes deux matrices, tu n'as pas fini de jouer les bébés.
Bruno -
Se confronter à la réalité quand on se croit génial et qu'on ne l'est pas est sans doute contrariant effectivement. Reporter le problème sur les autres (ils sont méchants) est sans doute réconfortant. Cela dit je n'ai pas de formation en psychiatrie.
-
Bon, ça donne le resultat suivant :
$$ \begin{pmatrix}
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i} \\
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i}^2 \\
\vdots \\
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i}^n
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
u \\
u^2 \\
\vdots \\
u^n
\end{pmatrix} $$
Après, qu'est ce qu'on fait ?
Merci d'avance ! -
Après tu réponds toi-même à ta question. L'as-tu oubliée ? Quand est-ce que deux matrices sont égales ?
Bruno -
Oui, je sais mais, la question est de trouver les $ (a_1 , ... , a_n) $ qui verifient le système, non ? et c'est là que ça pose enormement de problèmes !
-
Qu'est-ce que tu veux que je te réponde ? Je ne vois guère de problèmes, et d'autre part tu as déjà eu une réponse plus haut.
Bruno -
Bruno, pourquoi, tu fermes l'autre fil "Plan affine / vectoriel" ! Oh, c'est pas un geste provenant de quelqu'un en plein maturité mentale ! Dommage ! :-(
Tu l'ouvres non ?
Quoi, tu veux que je fasse plus d'erreur ! impossible ! l'erreur est humaine ! personne n'est parfait ! -
Oui mais là les erreurs sont telles qu'elles ne sont plus mathématiquement humaines...
-
Tu as écrit : a écrit:Oubliez complètement cette histoire de plan ou espace projectifs !
Par conséquent, j'en ai déduit que tu rouvrirai un fil en temps utiles.Oh, c'est pas un geste provenant de quelqu'un en plein maturité mentale ! Dommage !
Si à près de 70 ans je n'ai pas atteint la pleine maturité mentale, c'est raté pour la vie, Alzheimer va bientôt faire effet.
Bruno -
Bruno écrivait:
> > Oubliez complètement cette histoire de plan ou
> espace projectifs !
>
> Par conséquent, j'en ai déduit que tu rouvrirai un
> fil en temps utiles.
ça fait rire c'ke tu dit Bruno !
C'est vrai, je ne maîtrises pas bien ces notions ! il faut que je revois un peu le cours ! Je n'arrive pas à distinguer entre un plan projective et un plan de droites vectorielles ?
Un coup de main Bruno ! -
Mais tes insultes ne me font pas rire quelques grotesques qu'elles puissent êtres.
Bruno -
Nous rendre fou ?Pablo a écrit:tous ces postes que je crée et que tu vois devant toi renvoient sur un but bien précis que j'essayerai de devoiler plutard ! -
De quelle insulte tu parles Bruno ? Non, j'insulte parsonne moi !
-
stp, un coup de main Bruno ! Quelle est la difference entre un plan projective et un plan de droites vectorielles ?
Merci d'avance ! -
Bien entendu tu va encore te cacher derrière ta mauvaise maitrise du français pour dire que tu ne pensais pas à mal en remettant en cause la maturité de Bruno. Franchement ce genre de comportement est insupportable surtout envers quelqu'un qui donne autant de temps au forum et surtout à toi, qui entre nous soit dit, ne fait rien d'autre qu'occuper son temps dans un cyber café à croire qu'il fait des math.
Les modérateur devrait fermer chacun de tes fils, mais bon tu serais capable de ne pas comprendre pourquoi ils le font.
Alors soit tu veux apprendre les maths dans ce cas prend des cours et bosse les, soit va perdre ton temps ailleurs.
Et puis arrête de rêver de grandes découvertes tu n'en fera aucune, tu ne sais pas même pas multiplier des matrices mon gars.
Et puis une proposition parmi d'autre, je propose qu'on ne réponde plus à aucun de ses posts tant qu'il ne s'excuse pas envers Bruno et que ce soit de vrai math réfléchi. -
Ok, je m'excuse Bruno pour l'insulte que j't'ai fait hier ! Parfois, je pète un cable et j'n'arrive pas à me controler ! la faute est humaine ! En revanche, tu ferais mieux de cesser la fermeture subite de quelques uns de mes topics qui n'ont pour cause que parce que je fais des erreurs dans mon travail ! Personne n'est parfait ! on est là pour apprendre , faire des erreurs même graves, peu importe ! c'est déraisonnable d'agir ainsi et de commetre des prejudices à mon egard ! car j'avais bcp à dire, sur ce sujet là, mais tu finis par fermer le fil ! c'est pas comme ça qu'il fallait agir !
Si quelqu'un se demande pourquoi je fais des exos variés ces temps çi, c'est parcequ'il y'a beaucoup de problèmes qui me préoccupent en mathematiques et que j'ai tendance à palier le maximum possible pour que je n'aie désormais aucun problème dessus ! on est encore au debut du chemin !
Merci pour votre comprehension ! -
Par contre, tu dois avouer mon cher Bruno devant tous le monde, que tu as commis un abus de pouvoir involontaire ! ceci dit, celà devrait t'apprendre à mieux te maitriser pour que celà ne se reproduit jamais !
-
Pablo écrivait:
> Par contre, tu dois avouer mon cher Bruno devant
> tous le monde, que tu as commis un abus de pouvoir
> involontaire ! ceci dit, celà devrait t'apprendre
> à mieux te maitriser pour que celà ne se reproduit
> jamais !
Alors toi mon gars tu ne manque vraiment pas d'air. Mais si tu n'es pas content des décisions des modérateurs qui te supporte depuis fort longtemps maintenant va ailleurs. Car moi en tout cas je n'ai jamais vu de décisions déplacé de la part des modérateur qui font tant pour ce lieu d'expression MATHEMATIQUE.
>on est encore au debut du chemin !
Et bein vraiment là, je me dit qu'on a pas fini de rire et de s'énerver.
>on est là pour apprendre , faire des erreurs même graves, peu importe
Bein justement non, faire des erreurs permet d'apprendre que si on écoute et on suit les conseil qui nous sont donnés ensuite. C'est ça apprendre.
>En revanche, tu ferais mieux de cesser la fermeture subite de quelques uns de mes topics qui n'ont pour cause que parce que je fais des erreurs dans mon travail !
Comme tous ceux qui se sont inscrit tu as choisi d'accepter les termes d'une charte et donc la modération qui en découle. -
"il y'a beaucoup de problèmes qui me préoccupent en mathematiques et que j'ai tendance à palier le maximum possible pour que je n'aie désormais aucun problème dessus ! on est encore au debut du chemin ! "
Avant de savoir conduire, il faut mieux connaître le code de la route pour savoir comment réagir dans telle ou telle situation.
En espérant que l'analogie t'aidera à comprendre qu'on ne fait pas des maths en piochant un peu partout. Autre exemple, on ne peut pas envoyer une fusée dans l'espace si on n'a pas encore construit la coque de celle-ci ni la machinerie interne premettant la propulsion de ladite fusée. En gros et pour faire simple si tu te refuse à faire des maths ne t'attend pas à comprendre quelque chose et encore moins à découvrir quelque chose dans ce domaine.
Cordialement, -
A willouuuuuuuu :
T'as une grande [*** modéré La charte 3.3.5 et 3.3.7. AD]
[Je ferme cette discussion car celui qui ne veut pas comprendre ne comprendra jamais. AD]
Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
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