Clôture algébrique de Fp

Salut,

Il faut bien voir que le terme "union" est ici utilisé abusivement, les $F_{p^n}$ n'étant pas des parties d'un même ensemble.. donc ta démonstration n'est pas tout à fait correcte, les opérations de corps étant mal définies entre éléments de deux corps différents. En réalité il s'agit de ce qu'on appelle une limite inductive, et dans ce cadre on peut effectivement considérer tout les $F_{p^n},\ n \in \N^*$.

Mais comme le concept de limite inductive est un peu abstrait, on essaye dans un premier temps de présenter les choses comme une vraie "union" avec des sous-ensembles d'un même ensemble : on va donc essayer d'emboîter les $F_{p^n}$ pour se ramener à l'union d'une suite croissante. Pour définir l'union croissante d'une suite de corps $K_n$, la moindre des choses est d'être capable d'identifier $K_n$ à un sous-corps de $K_{n+1}$, i.e. de trouver une injection de $K_n$ dans $K_{n+1}$ pour tout $n$. Mais $F^{p^n}$ ne s'injecte pas dans $F_{p^{n+1}}$ dès que $n \geq 2$, pour des raisons très simples de cardinalité. En revanche $K_n=F_{p^{n!}}$ s'injecte dans $K_{n+1}=F_{p^{(n+1)!}}$, et c'est avec cette chaîne de corps qu'on va pouvoir définir notre union. On récupère bien tous les $F_{p^n}$ au passage, même si $n$ n'est pas de la forme $m!$, parce que $F_{p^n}$ s'injecte dans $F_{p^{n!}}$.

Remarque pour compléter (pas pour répondre à la question) :
Une fois qu'on tient une clôture algébrique de $\mathbf F_q$ (ou simplement en admettant son existence), les corps $\mathbf F_{q^n}$ sont faciles à définir : $\mathbf F_{q^n}$ est l'ensemble des racines de $X^{q^n}-X$ dans la clôture algébrique qu'on a au départ. Et ainsi, on voit bien toutes les inclusions.

[La case LaTeX. AD]