Polynômes de Lagrange...
Bonjour,
Je viens de terminer la rédaction d'un exo classique sur les polynômes de Lagrange qui m'a fait démontrer le résultat suivant :
Soit $P$ un polynôme appartenant à $\R_{n-1}[X]$ alors $P= \sum_{j=1}^{n} P(x_j)L_j$ où $L_j$ est le produit des fractions $\dfrac{X-x_k}{x_j -x_k}$ pour $k$ variant de $1$ à $n$ en étant différent de $j$.
Mais finalement, la morale de l'histoire, c'est qu'on peut tjs exprimer un polynôme de degré quelconque à l'aide de Lagrange et de ce résultat?
Je me suis amusé à effectuer cette décomposition pour $X^2 +2X+1$, mais j'y arrive pas.
Comment peut-on faire pour décomposer ce trinôme du second degré avec l'égalité que je viens de démontrer?
Merci pour vos explications,
Cordialement,
Clotho
Je viens de terminer la rédaction d'un exo classique sur les polynômes de Lagrange qui m'a fait démontrer le résultat suivant :
Soit $P$ un polynôme appartenant à $\R_{n-1}[X]$ alors $P= \sum_{j=1}^{n} P(x_j)L_j$ où $L_j$ est le produit des fractions $\dfrac{X-x_k}{x_j -x_k}$ pour $k$ variant de $1$ à $n$ en étant différent de $j$.
Mais finalement, la morale de l'histoire, c'est qu'on peut tjs exprimer un polynôme de degré quelconque à l'aide de Lagrange et de ce résultat?
Je me suis amusé à effectuer cette décomposition pour $X^2 +2X+1$, mais j'y arrive pas.
Comment peut-on faire pour décomposer ce trinôme du second degré avec l'égalité que je viens de démontrer?
Merci pour vos explications,
Cordialement,
Clotho
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Réponses
Déjà, quels sont tes $x_j$ ? Il n'y a pas que le polynôme $P$ comme donnée, il y a aussi les $x_j$.
"Mais finalement, la morale de l'histoire, c'est qu'on peut tjs exprimer un polynôme de degré quelconque à l'aide de Lagrange et de ce résultat?"
Pour moi, la morale de l'histoire, c'est surtout : étant donnés $n$ couples de nombres $(x_j,y_j)$ avec les $x_j$ distincts, il existe un unique polynôme $P$ de degré $\leqslant n-1$ tel que $P(x_j) = y_j$ pour tout $j$.
Exemple : Sans faire de calcul, on sait qu'il existe un unique polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $3$ tel que $P(1) = 5$, $P(12) = 28$, $P(17) = -2$ et $P(25) = 156$. En plus, si on veut calculer $P$, on peut toujours le faire à l'aide des polynômes de Lagrange.
en choisissant $3$ abscisses, $x_0=0$ $x_1=2$, $ x_2=-1$ par exemple et en calculant les $P(x_i)$.
S
Pour mes $x_j$, ben dans mon exercice, c'est uniquement précisé $x_j$, donc on se place dans le cadre général.
Pour voir comment cela fonctionne dans la pratique et sur ton exemple, à quoi serait égal ton polynôme P?
[Guego, c'est bon, je viens de trouver un imprimé très bien fait sur le net qui répond exactement à ma question "pratique" que je me pose. Aurais dû faire le chemin inverse...]
Merci
Clotho