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Polynômes de Lagrange...

Envoyé par clothoide 
Polynômes de Lagrange...
il y a quatre années
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Bonjour,

Je viens de terminer la rédaction d'un exo classique sur les polynômes de Lagrange qui m'a fait démontrer le résultat suivant :

Soit $P$ un polynôme appartenant à $\R_{n-1}[X]$ alors $P= \sum_{j=1}^{n} P(x_j)L_j$ où $L_j$ est le produit des fractions $\dfrac{X-x_k}{x_j -x_k}$ pour $k$ variant de $1$ à $n$ en étant différent de $j$.

Mais finalement, la morale de l'histoire, c'est qu'on peut tjs exprimer un polynôme de degré quelconque à l'aide de Lagrange et de ce résultat?

Je me suis amusé à effectuer cette décomposition pour $X^2 +2X+1$, mais j'y arrive pas.

Comment peut-on faire pour décomposer ce trinôme du second degré avec l'égalité que je viens de démontrer?

Merci pour vos explications,

Cordialement,
Clotho
Re: Polynômes de Lagrange...
il y a quatre années
"Comment peut-on faire pour décomposer ce trinôme du second degré avec l'égalité que je viens de démontrer?"

Déjà, quels sont tes $x_j$ ? Il n'y a pas que le polynôme $P$ comme donnée, il y a aussi les $x_j$.

"Mais finalement, la morale de l'histoire, c'est qu'on peut tjs exprimer un polynôme de degré quelconque à l'aide de Lagrange et de ce résultat?"

Pour moi, la morale de l'histoire, c'est surtout : étant donnés $n$ couples de nombres $(x_j,y_j)$ avec les $x_j$ distincts, il existe un unique polynôme $P$ de degré $\leqslant n-1$ tel que $P(x_j) = y_j$ pour tout $j$.
Exemple : Sans faire de calcul, on sait qu'il existe un unique polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $3$ tel que $P(1) = 5$, $P(12) = 28$, $P(17) = -2$ et $P(25) = 156$. En plus, si on veut calculer $P$, on peut toujours le faire à l'aide des polynômes de Lagrange.
Re: Polynômes de Lagrange...
il y a quatre années
avatar
Bonjour,

en choisissant $3$ abscisses, $x_0=0$ $x_1=2$, $ x_2=-1$ par exemple et en calculant les $P(x_i)$.

S
Re: Polynômes de Lagrange...
il y a quatre années
avatar
@Guego :

Pour mes $x_j$, ben dans mon exercice, c'est uniquement précisé $x_j$, donc on se place dans le cadre général.

Pour voir comment cela fonctionne dans la pratique et sur ton exemple, à quoi serait égal ton polynôme P?

[Guego, c'est bon, je viens de trouver un imprimé très bien fait sur le net qui répond exactement à ma question "pratique" que je me pose. Aurais dû faire le chemin inverse...]

Merci
Clotho
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