Idéaux maximaux
Bonsoir, je désire montrer l'équivalence suivante : Soit $A$ un anneau
$a\in A$ inversible ssi $a\notin\mathfrak{m}$ quelque soit $\mathfrak{m}$ idéal maximal de $A$
Il est clair que si $a$ n'est pas inversible $aA$ est un idéal propre donc comme $a\in aA$ et que tout idéal propre est contenu dans un idéal maximal alors il existe $\mathfrak{m}$ idéal maximal tel que $a\in\mathfrak{m}$. Ce qui montre par contraposée l'implication de droite à gauche. Pouvez-vous m'aider pour l'autre sens ?
Merci.
$a\in A$ inversible ssi $a\notin\mathfrak{m}$ quelque soit $\mathfrak{m}$ idéal maximal de $A$
Il est clair que si $a$ n'est pas inversible $aA$ est un idéal propre donc comme $a\in aA$ et que tout idéal propre est contenu dans un idéal maximal alors il existe $\mathfrak{m}$ idéal maximal tel que $a\in\mathfrak{m}$. Ce qui montre par contraposée l'implication de droite à gauche. Pouvez-vous m'aider pour l'autre sens ?
Merci.
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Réponses
Ça répond à ta question ?
Dans les présentations habituelles c'est plutôt une propriété (assez immédiatement équivalente à la définition).