Anneau non intègre
Bonjour;
J'ai du mal à comprendre pour quoi il existe des anneaux où l'élément neutre est égal à l'élement unité? Est-ce qu'il y a quelqu'un qui pourra me donner un exemple de ses anneaux s'il vous plait?
D'après mon logique on ne pourrai jamai avoir 1=0 dans un anneau noté A :car si 1=0 , quelque soit x non nul l'élément de A on a x=x.(1+0)=x.1+x.0=x+x donc x=0, ce qui est absurde d'après l'hypothèse.
donc 1=0 ne pourra être vrai que si l'anneau n'a qu'un élement... Est-ce que c'est vrai?
Merci d'avance;
Déna
J'ai du mal à comprendre pour quoi il existe des anneaux où l'élément neutre est égal à l'élement unité? Est-ce qu'il y a quelqu'un qui pourra me donner un exemple de ses anneaux s'il vous plait?
D'après mon logique on ne pourrai jamai avoir 1=0 dans un anneau noté A :car si 1=0 , quelque soit x non nul l'élément de A on a x=x.(1+0)=x.1+x.0=x+x donc x=0, ce qui est absurde d'après l'hypothèse.
donc 1=0 ne pourra être vrai que si l'anneau n'a qu'un élement... Est-ce que c'est vrai?
Merci d'avance;
Déna
Réponses
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Oui, si 1=0 alors ton anneau est trivial et ne contient qu'un element. Ca n'a pas grand chose a voir avec le titre de ton message, les anneaux non integres sont ceux tels qu'il existe 2 elements non nuls a et b tels que ab=0. Il existe des tas d'anneaux non integre non triviaux, par exemple les algebre de matrices $M_n(K)$ sur un corps $K$ pour $n\geq 2$.
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Hhm.... J'ai mis ce titre car par définition les anneaux où 1=0 font partie des ensembles d'anneaux non intègres..... Un anneau intègre est un anneau ou 0 n'est pas égal à 1 et si x.y=0 alors x=0 ou y=0. Un anneau qui n'est pas intègre est donc non intègre.
Pourtant pour moi l'espace des matrices carrées d'ordre n à coefiicients dans K ou l'espace des fonctions de R dans R sont bien plus triviaux comme les anneaux non intègres qu'un anneau à un élément...... -
Certes "les" anneaux tels que 1=0 sont non integres, mais deja il n'y en a qu'un, ensuite c'est probablement l'anneau le moins interressant qui soit, en tout cas ca n'est absolument pas un exemple vraiment pertinent d'anneau non integre.
Ensuite j'avoue ne pas du tout voir ce que tu veux dire par ta derniere phrase, ni ou tu veux en venir, en fait... -
Bonsoir jobherzt.
Si Déna dit cela, c'est parce que trop de trivialité, tue la trivialité (:P). -
Je voulais d'abord vous remercier pour vos réponses,
mais ce que je voulais dire est qu'en général il y a plusieurs manières d'apprendre et d'appercevoir une même chose. Il y a certainement beaucoup de choses que je ne sais pas mais j'ai surement la liberté de choisir ma propre manière à comprendre l'algèbre.
En tout cas j'ai jamais dit que ces anneaux sont les exemples les plus pertinents des anneaux non intègres mais je les trouve pas vraiment triviaux comme anneaux non intègres.
Merci encore;
Déna -
Salut Déna,
Je ne sais pas si on s'entend sur le sens du mot "trivial". C'est evident que chacun peut choisir sa facon de voir et d'apprendre, mais le fait est que l'unique (car il est unique) anneau qui verifie 1=0 ne presente essentiellement que peu d'interet puisque comme tu l'as remarqué il ne contient qu'un seul element. Autrement dit, c'est un anneau tellement particulier et surtout tellement "vide" qu'il ne donne pas une bonne idée de ce qu'est un anneau non integre. En un sens c'est "trop facile" qu'il soit non integre puisque dedans "tout le monde est egal a 0". Disons que c'est un peu comme essayer de comprendre ce qu'est une racine carrée en calculant celle de 0, ou si tu cherchais a comprendre la notion de polynome en regardant le polynome nul. -
Bon ça commence à bien faire ce fil.
Il y a deux écoles pour la définition de l'intégrité.
Étant donné un anneau $A$, appelons $(P)$ la propriété suivante :
$$\forall a, b \in A, ab=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0 ~~~~(P)$$.
La première école définit les anneaux intègres comme étant les anneaux $A$ vérifiant la propriété $(P)$. La deuxième école définit un anneau intègre comme étant un anneau non nul $A$ vérifiant la propriété $(P)$.
Les intervenants de ce fil semblent indiquer que la propriété $(P)$ seule implique la non nullité : point du tout ! C'est très légitime d'être de la seconde école et de retirer artificiellement l'anneau nul de la liste des anneaux intègres, mais ça n'a rien à voir avec la propriété $(P)$ ! -
Salut le Barbu rasé,
Je ne vois pas ou tu as vu ca, personnellement je n'ai juste pas bien compris les attentes de Déna. Entre les lignes, j'ai cru comprendre qu'elle s'interressait "aux anneaux tels que 1=0" pour avoir un exemple d'anneau non integre. J'ai donc essayé de lui expliquer que 1) cet anneau etait unique et trivial 2) ca n'etait {\bf pas un bon exemple } d'anneau non intègre. Mais je n'ai jamais dit que la non nullité pouvait se deduire de l'integrité, quand meme
J'avoue que je ne comprends pas bien ton intervention, d'autant que "les intervenants de ce fil" a prior c'est surtout moi donc je me sens visé -
Ne nous fâchons pas. Ta mise au point clarifie ta position et évite tout malentendu, c'est parfait ainsi.
Tes précédents messages, je le regrette, n'étaient pas clairs pour moi (ta définition en post 1 est celle de la première école, et j'ai donc traduit ton message en post 3 «c'est "trop facile" qu'il soit non integre puisque dedans "tout le monde est egal a 0".» par «l'anneau nul vérifie clairement (P)»). S'ils étaient clairs pour les autres, tant mieux, en tout cas maintenant c'est clair pour tout le monde.
Cela dit, ma remarque visait aussi les messages de Déna et le message de qadassi.
Je me répète mais il n'y a pas lieu de prendre mal mon post dont la motivation me paraît assez limpide : j'ai eu le sentiment qu'un point important n'était pas clairement traité sur ce fil (encore une fois, s'il était clair pour tous les autres lecteurs, tant mieux, ma précision est superflue mais ne parasite pas le fil pour autant), et je l'ai donc précisé. -
Mea culpa, tu as parfaitement raison, j'ai melangé les 2... Je me concentrais surtout sur l'assertion : "si ce qui t'interresse c'est les anneaux (non) integres, et en fait quel que soit ce qui t'interresse, ca ne t'avancera pas a grand chose de regarder l'anneau trivial".
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En fait, en les relisant, j'ai l'impression que mes messages sont involontairement un peu agressifs depuis le début de la semaine dernière. Ça doit être le manque de sommeil. :P
Donc mea culpa aussi 8-).
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