Calcul comatrice

clothoide · March 2010

Bonjour

Je suis en plein dans les déterminants depuis quelques temps.
Et j'aimerais savoir très concrètement comment s'effectue dans la pratique le calcul de la comatrice.

Pour ce faire, je suis entrain d'étudier un exemple assez détaillé. Seulement, il donne directement le résultat pour le comatrice sans l'expliciter.

En partant de la matrice suivante $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & m & 1\\ 3 & 1 & -m \end{pmatrix}$, ils obtiennent pour la transposée de la comatrice de $A$ :
$$^t \mathrm{com}(A) = - \begin{pmatrix} m^2+1 & 1-m & -1-m \\ -m-3 & 2m-3 & 3\\ 3m-1 & -1 & -2m+1 \end{pmatrix}$$
Pour le déterminant, on obtient : $\det A=2(2-m)m$.
Est-ce que je dois déterminer $A^{-1}$, je sais faire, ou il y a plus simple pour retomber sur leur résultat ?

$$A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0\\ 3m-1 & -1 & 2m(m-2) \end{pmatrix}$$

D'après mes calculs que je viens de finir. Mais je vois pas comment à leur résultat en partant de ça.

Je sais bien que je vous demande de mettre la main à la pâte, et que ce ne sont pas forcément des calculs rigolos, mais c'est pour la bonne cause.
Merci
Clotho
[Merci AD pour la remise en page]

GreginGre · March 2010

Salut

Ton calcul de $A^{-1}$ est à revoir, puisque normalement tu trouves $\dfrac 1{\det(A) . \mathrm{com}(A)^t}$.
Déjà, rien qu'en calculant le terme $(1,1)$ du produit $A.A^{-1}$, on ne trouve pas $1$.

D'autre part, j'ai des doutes sur la comatrice. Il y a des problèmes de signes qui sont faux, entre autres.
Pour la calculer, tu appliques simplement sa définition, et tu dois calculer 9 déterminants $2\times 2$ (attention au signe $(-1)^{i+j}$ à rajouter à chaque fois).

Bon travail !

clothoide · March 2010

Bonjour GreinGre,

Ben, c'est justement la définition que je ne vois pas comment appliquer, dans la pratique.

Le calcul de $A^{-1}$ est-il vraiment nécessaire?

Tout cela est nouveau pour moi, et je suis un peu paumé. Ce ne sont pas les calculs qui m'effraient, ça fait partie du "boulot", mais j'aimerais être certain de ne pas faire fausse route.

Et à partir des $9$ déterminants que je dois calculer, comment je fais ensuite pour obtenir leur matrice?

Merci
Clotho

GreginGre · March 2010

Je ne comprends pas la question. Si tu veux calculer la comatrice, non, il n' y a pas besoin de calculer $A^{-1}$ (la comatrice est toujours bien définie, contrairement à l'inverse de $A$). Maintenant, je te conseille quand même de la faire avec la méthode de ton choix pour t'entraîner, parce que ton calcul est faux.

Sinon, pour la comatrice , on applique bêtement la définition, je ne peux pas te dire mieux: le terme $(i,j)$ de $com(A)$ est $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$, où $\Delta_{ij}$ est le déterminant de la matrice obtenue à partir de $A$ en enlevant la ligne $i$ et la colonne $j$.

Par exemple, le terme $(1,2)$ sera: $(-1)^{1+2}\left\vert\begin{array}{cc}1 & 1\cr 3& -m\end{array}\right\vert$.

GreginGre · March 2010

PS: leur calcul de la comatrice est faux, j'en suis à peu près persuadé.

jean lismonde · March 2010

bonjour

ton déterminant de A est exact: on trouve: $2m.(2 - m)$
pour la détermination de la comatrice, GreginGre t'a très bien expliqué

tu commences par les mineurs (déterminants $2X2$) affectés d'un signe +
ils sont situés sur la croix de Saint André X de la comatrice
puis tu termines avec les autres mineurs affectés d'un signe -
normalement une comatrice $3X3$ se calcule directement, je trouve:

$ComA = \begin{pmatrix}{- 1 - m²&m + 3&1 - 3m\\- 1 + m&3 - 2m&1\\1 + m&-3&2m - 1}\end{pmatrix}$

pour déterminer la matrice inverse $A^{-1}$ il faut prendre la transposée de la comatrice et diviser par le déterminant soit:

$A^{-1} = \frac{1}{2m(2-m)}\begin{pmatrix}{- 1 - m²&- 1 +m&1 + m\\m + 3&3 - 2m&- 3\\1 - 3m&1&2m - 1}\end{pmatrix}$

cordialement

Braun · March 2010

Bonjour à tous,
Sauf erreur de frappe, si j'en crois muPAD, l'adjointe serait la matrice~:
$\displaystyle{\left( \begin{array}{ccc} -m^{2}-1 & m + 3 & -3\,m+1 \\ m - 1 & -2\,m + 3 & 1 \\ m+1 & -3 & 2\,m-1 \end{array} \right)}$
Si ça peu aider.

clothoide · March 2010

ok, merci à vous deux, Gregingre et Jean, pour vos explications supplémentaire, je crois que je commence à voir à présent comment m'y prendre.

@Braun : ne sais pas ce qu'on appelle une adjointe pour l'instant, mais c'est prévu au programme.

Cordialement,
Clotho

Braun · March 2010

Pardon Clotho,
Le mot m'a échappé par ce qu'il est parfois employé en lieu et place de Comatrice, notamment dans les logiciels de calcul symbolique.
Mais j'ai l'impression que le calcul de mon esclave donne le même résultat que celui de Jean Lismonde, ce qui est le principal.
Cordialement.

clothoide · March 2010

Oui Braun, ça y est, c'est bon!

Je viens de refaire le calcul "à la mano", comme on dit, et je retrouve bien ton résultat pour la comatrice, à savoir :

$$\mathrm{com}(A)= \displaystyle{\left( \begin{array}{ccc} -m^{2}-1 & m + 3 & -3\,m+1 \\ m - 1 & -2\,m + 3 & 1 \\ m+1 & -3 & 2\,m-1 \end{array} \right)}$$

Et à la décharge de mon ouvrage, il s'agissait de la transposée de la comatrice que j'ai mentionnée - mais sans le préciser - dans mon fil initial, qui est donc correcte au signe près. Puisqu'il font "agir" le signe du déterminant dessus. On obtient alors :

$$^t \mathrm{com}(A)= \displaystyle{\left( \begin{array}{ccc} -m^{2}-1 & m - 1 & 1 + m \\ 3 + m & -2m + 3 & -3 \\ 1 - 3m & 1 & 2m -1 \end{array} \right)}$$

C'est vrai qu'on a vite fait de se planter dans les signes. M'y suis repris à 2 fois pour obtenir le bon résultat pour ma comatrice.

Pour info, possédant Mapple, mais ne l'ouvrant pas beaucoup, comment fait-on pour calculer une comatrice? Juste l'instruction bien sûr

Clotho

Crapul · March 2010

Bonjour bonjour,

@Braun : je suis embrouillé par ce que tu as dit au sujet de l'adjointe, qui désignerait la comatrice...rien à voir donc avec l'adjoint d'un endomorphisme, dont la matrice est la transposée (si je ne me trompe pas évidemment) de la matrice dudit endomorphisme (dans la même base etc.)?

s.b · March 2010

Bonjour à tous !

@ clothoide

Dans Maple, la commande est Adjoint(A). Il faut appeler les packages linalg ou Linear Algebra pour les versions les plus récentes. Pour ce faire, tu tapes with( *le nom du package*) ; et ensuite la commande. Ce que je te conseille, c'est de regarder l'aide de Maple sur le package (en appuyant sur F1 quand le curseur est sur le nom du package). Généralement, l'aide est très bien faite.

Braun · March 2010

Bonjour s.b,
N'ayant pas Maple, j'ai fait un tour sur Google et, si j'ai bien compris, il se peut que selon les versions Adjoint() ou adjoint() ne donne pas la comatrice mais la transposée d'icelle.
Il reste donc l'éventualité d'un piège.
On ne sait plus à qui se fier.
@ Crapul, je ne me risquerai pas dans une étude extensive du terme "adjoint", il me semble qu'il y a déjà assez à faire avec notre petite question présente.
D'un point de vue très général, je postule que chaque auteur a le droit d'utiliser dans sa théorie les termes qu'il veut à condition de bien les définir lui-même.

clothoide · March 2010

Pour info, je viens de terminer le calcul de l'inverse de ma matrice initiale $A$, et c'est assez "monstrueux" comme résultat. Je n'ose même pas vérifier en faisant le produit par $A$ pour retrouver l'identité.

Bref, j'ai passé une heure dessus et vérifié 2 fois mes calculs, cela me semble correct. On trouve :
$$A^{-1} = \dfrac{1}{(2m^{2} - 4m)} \begin{pmatrix} m^2+1 & 1-m & -1-m \\ -3-m & 2m-3 & 3 \\ 3m -1 & -1 & -2m+1 \end{pmatrix}$$
Possible d'avoir quelque chose comme ça le jour d'un concours?

@s.b : oui, faudrais que je mette sérieusement à Mapple un de ces jours. en plus, j'ai la dernière version. Mais si je l'ouvre jamais, cela ne me sert pas à grand chose, je suis d'accord

[Viens de vérifier avec le résultat donné par Jean, et c'est correct au signe près. C'est vrai que sa méthode est plus rapide. Moi, j'ai fait cela à l'ancienne en résolvant le système classique]

Merci
Clotho

ev · March 2010

Wims me donne le déterminant: $ -2*m^2+4*m$
Mais il n'est pas d'accord avec toi sur les deux dernières lignes (un facteur -2 et un facteur -1)

amicalement,

e.v.

clothoide · March 2010

Salut ev,

Bon, vais laisser ça en suspend alors car déjà passé pas mal de temps là-dessus.

Pourtant, c'est exactement le même résultat que trouve Jean par une méthode plus directe et moins calculatoire que la mienne. En tenant compte du fait que son résultat est l'opposé du mien. Il divise par les coefficients de sa matrice par $4m-2m^2$ qui peut aussi s'écrire $(-1)(2m^2-4m)$. Et en prenant ensuite, l'opposé de chacun de ses coefficients, on retrouve bien mon résultat.

Merci pour le lien wims, connaissais pas.

Cordialement,
Clotho

jean lismonde · March 2010

bonjour

je me suis intéressé aux valeurs propres de la matrice A (dépendante de m) de Clothoide

le déterminant (dépendant de m) de A est simple et donc je pensais que les valeurs propres le seraient

mais l'équation caractéristique du troisième degré n'admet pas de racine (dépendante de m) évidente

cordialement

yoss20 · June 2013

Slt svp c quoi la com d'une matrice 2 lignes 2 colonnes ??
(-2 1)
(1 1)

jean lismonde · June 2013

Bonjour

C'est plus facile que pour une matrice $3\times 3$

Le déterminant de ta matrice $A$ est : $\det A = - 2 - 1 = -3$

La comatrice de A est calculée suivant la méthode expliquée plus haut (avec les mineurs et cofacteurs) soit:

$Com\ (A) = \begin{pmatrix}{1&- 1\\- 1&- 2}\end{pmatrix}$

et on en déduit la matrice inverse de $A$ en divisant la transposée de la comatrice par le déterminant :

$A^{- 1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}{- 1&1\\1&2}\end{pmatrix}$

Cordialement