valeur propre et valeur spectrale

Bonjour à tous,

On se place dans un espace vectoriel $E$ sur un corps $\mathbb{K}$ , de dimension infinie. Alors, une valeur spectrale de l'endomorphisme $u$ est un scalaire $\lambda$ tel que $u-\lambda.I$ ne soit pas inversible. En dimension finie, $\lambda$ est aussi une valeur propre. Mais, le résultat ne subsiste pas en dimension infinie. Je cherche donc un exemple de valeur spectrale qui ne soit pas valeur propre (et si possible, dans une situation pas trop compliquée...)

Merci.

Le décalage vers la droite $s$ sur $\R^{\N}$ ($s(x)_{i+1}=x_i$ et $s(x)_0=0$) n'est pas surjectif mais est injectif. Ainsi $0$ est valeur spectrale (si j'en crois ta définition ; c'est vieux pour moi tout ça) mais pas valeur propre.

Effectivement, ton exemple convient parfaitement. Merci beaucoup.

Un autre exemple, sur $C^0([0,1])$, l'opérateur $Tu(x)=xu(x)$. Le spectre est égal à $[0,1]$, mais aucun de ses éléments n'est une valeur propre.

Merci remarque, je vais méditer dessus.

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