Générateurs de O(q), adjoint

Florent H. · May 2010

Bonjour,

j'aimerais montrer que pour toute forme quadratique q, le groupe orthogonal O(q) est engendré par les réflexions. Dans le Cours d'Algèbre de Perrin, on se donne u dans O(q), et on suppose qu'il existe x non nul et non isotrope tq u(x)=x. On appelle H l'orthogonal de Vect(x), et là il dit que H est u-stable. Je ne comprends pas pourquoi.
Du coup j'en suis venu à me demander si on pouvait définir l'adjoint d'un endomorphisme sur un espace quadratique quelconque (car alors vu que u est un endomorphisme normal, j'arriverais à prouver la stabilité de H).
Mes questions sont donc : peut-on définir l'adjoint sur (E,q) ? Si oui, comment ? Est-ce bien comme ceci qu'il faut procéder pour montrer que H est u-stable ?
Merci d'avance

GreginGre · May 2010

Bah oui, on peut si $(V,q)$ est non dégénérée, de la même façon que pour un produit scalaire.
Si $f\in End(V)$, alors il existe un unique $f^*\in End(V)$ tel que $b_q(f(x),y)=b_q(x,f^*(y))$, pour tous $x,y\in V$.

Ici $b_q$ désigne la forme polaire de $q$.

Florent H. · May 2010

Ok, merci. Mais est-ce que c'est la façon la plus simple de voir que H est u-stable ? Dans un autre livre j'ai lu que "u est une isométrie donc par définition, u(H)=H"...